這是圓內角與圓外角的教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

圓內角與圓外角的教案第 1 篇

1、教材分析

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

重點：切線長定理及其應用．因切線長定理再次體現了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經常應用，因此它是本節的重點．

難點：與切線長定理有關的證明和計算問題．如120頁練習題中第3題，它不僅應用切線長定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學生往往不能很好的把知識連貫起來．

2、教法建議

本節內容需要一個課時．

（1）在教學中，組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結論及時總結；

（2）在教學中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學．

教學目標

1．理解切線長的概念，掌握切線長定理；

2．通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想．

3．通過對定理的猜想和證明，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態度．

教學重點:

切線長定理是教學重點

教學難點 :

切線長定理的靈活運用是教學難點

教學過程 設計:

（一）觀察、猜想、證明，形成定理

1、切線長的概念．

如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長．

引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.

2、觀察

利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關系．

3、猜想

引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．

4、證明猜想，形成定理．

猜想是否正確。需要證明．

組織學生分析證明方法．關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．

想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？

∠OPA＝∠OPB(如圖)等．

切線長定理：從圓外一點引圓的'兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．

5、歸納：

把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

6、切線長定理的基本圖形研究

如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O于點D，E，交AP于C

(1)寫出圖中所有的垂直關系；

(2)寫出圖中所有的全等三角形；

(3)寫出圖中所有的相似三角形；

(4)寫出圖中所有的等腰三角形．

說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎．

（二）應用、歸納、反思

例1、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，

A和B是切點，BC是直徑．

求證：AC∥OP．

分析：從條件想，由P是⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB＝OC，由此聯想到與直徑有關的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等．于是想到可能作輔助線AB.

從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP于O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮．也可考慮通過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法．

證法一．如圖．連結AB．

PA，PB分別切⊙O于A，B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴ OP ⊥AB

又∵BC為⊙O直徑

∴AC⊥AB

∴AC∥OP (學生板書)

證法二．連結AB，交OP于D

PA，PB分別切⊙O于A、B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴AD＝BD

又∵BO=DO

∴OD是△ABC的中位線

∴AC∥OP

證法三．連結AB，設OP與AB弧交于點E

PA，PB分別切⊙O于A、B

∴PA＝PB

∴ OP ⊥AB

∴ =

∴∠C＝∠POB

∴AC∥OP

反思：教師引導學生比較以上證法，激發學生的學習興趣，培養學生靈活應用知識的能力．

例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．

（分析和解題略）

反思：（1）例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質，請學生記住結論．（2）圓內接四邊形的性質：對角互補．

P120練習：

練習1 填空

如圖,已知⊙O的半徑為3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA＝_______，∠APB＝________

練習2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切于點D，E，F，求AF，AD和CE的長．

分析：設各切線長AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米．后列出關于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果．

（解略）

反思：解這個題時，除了要用三角形內切圓的概念和切線長定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題．通過對本題的研究培養學生的綜合應用知識的能力．

（三）小結

1、提出問題學生歸納

（1）這節課學習的具體內容；

（2）學習用的數學思想方法；

（3）應注意哪些概念之間的區別?

2、歸納基本圖形的結論

3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法．

（四）作業

教材P131習題7．4A組1．(1)，2，3，4．B組1題．

探究活動

圖中找錯

你能找出（圖1）與（圖2）的錯誤所在嗎？

在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線、P1B為⊙O1和⊙O2的切線、P2C為⊙O2和⊙O3的切線．

提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點O應在圓上．

在圖2中，設P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，則有

a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①

c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②

a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③

將②代人①式得

a =P1P3+（P2P3+ b）=P1P3+P2P3+ b，

∴a-b=P1P3+P2P3

由③得a-b=P1P2得

∴P1P2=P2P3+ P1P3

∴P1、P 2 、P3應重合，故圖2是錯誤的．

數學教案－切線長定理

圓內角與圓外角的教案第 2 篇

　　【內容概述】

　　證明圓的切線是近幾年中考常見的數學問題之一。最常用的是利用“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明。

　　本內容通過動手操作得出切線的判定定理，再利用解決兩道例題，總結歸納出兩種具體的證法：

　　①當直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；

　　②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

　　歸納總結后，馬上給予兩道對應練習題鞏固理解兩種證明方法。

　　【教學重難點】

　　理解切線的判定方法，能選擇正確的方法證明一條直線是圓的切線。

　　【教學目標】

　　掌握判斷圓的切線的方法，并靈活解題。進一步培養使用“分類”與“歸納”等思想方法的能力。

　　【教學過程】

　　一、復習引入

　　平面內直線和圓存在著三種位置關系，即直線和圓相離、直線和圓相切、直線和圓相交，這三種位置關系中最重要的是直線和圓相切。那么怎樣證明直線和圓相切呢？怎樣判定一條直線是圓的切線？

　　⑴和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；（定義）

　　⑵到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（d=r）

　　除了這兩種方法，還有沒有其他方法判定一條直線是圓的切線呢?

　　活動一：在練習本上畫一個圓O,做一個半徑OA,做一條直線L,使L經過點A且垂直于OA。這樣的直線能畫幾條？這條直線和圓是什么位置關系？為什么？你得到了什么結論？

　　切線判定定理：經過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　活動二：分析定理。經過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　這個定理有什么用？證明一條直線是圓的切線，那根據這個判定定理，要證明一條直線是圓的切線，需要幾個條件？分別是什么？

　　對定理的理解：①經過半徑外端. ②垂直于這條半徑。

　　定理中的兩個條件缺一不可。

　　二、典型例題

　　例1：如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB,CA=CB，

　　求證：直線AB是⊙O的切線。

　　證明：連結0C

　　∵0A＝0B，CA＝CB，

　　∴AB⊥OC。

　　∵直線AB經過半徑0C的外端C，

　　并且垂直于半徑0C，

　　∴AB是⊙O的切線。

　　【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論，特別要注意“經過半徑的`外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線。

　　例2：如圖，P是∠BAC上的平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D，請問AB與以P

　　為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么 ？

　　證明：過P作PE⊥AB于E

　　∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

　　∴PE=PD(角平分線上的點到角兩邊距離相等)

　　∴圓心P到AB的距離PE=PD=半徑

　　∴AB與圓相切

　　【設計意圖】通過例一和例二的解答，總結證明切線的兩種添加輔助線的方法。

　　①當直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；

　　②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

　　三、知識應用（練習）

　　1、如圖，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長線上

　　的一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，弦AC平分∠EAB。

　　求證：DE是⊙O的切線．

　　［分析］：因直線DE與⊙O有公共點C，故應采用“連半徑，證垂直”的方法。

　　證明：連接OC，則OA=OC，

　　∴∠CAO=∠ACO(等邊對等角)

　　∵AC平分∠EAB(已知)

　　∴∠EAC=∠CAO(角平分線的定義)

　　∴∠EAC=∠ACO（等量代換）

　　∴AE∥CO，(內錯角相等，兩直線平行)

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DC，

　　∴DE是⊙O的切線．

　　【評析】本題綜合運用了圓的切線的性質與判定定理．一定要注意區分這兩個定理的題設與結論，注意在什么情況下可以用切線的性質定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學們通過本題對這兩個定理有進一步的認識．本題若作OC⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯誤的．這樣做相當于還未探究、判斷，就以經得出了結論，顯然是錯誤的。

　　2、如圖，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分別是AC、

　　BC的中點，求證：以EF為直徑的⊙O 與AB 相切。

　　［分析］：因直線AB與⊙O無確定的公共點，故應采用“作垂直，證半徑”方法。

　　證明：過O點作OH⊥AB于H

　　∵E、F分別為AC、BC的中點（已知）

　　∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

　　∴G點為CD的中點，OH=GD=CD

　　∵CD=AB ∴EF=CD

　　∴OH=EF

　　∴AB為⊙O的切線

　　四、小結升華

　　本節課里，你學到了哪些知識，它們是如何應用的？

　　證明切線的方法：(1)直線和圓有交點時，“連半徑，證垂直”；

　　(2)直線和圓無確定交點時，“作垂直，證半徑”。

　　【設計意圖】讓學生自己通過這節課的學習歸納總結出本知識點，即判斷直線與

　　圓相切的方法以及二種添加輔助線的方法。

圓內角與圓外角的教案第 3 篇

一、教學目標

1．使學生掌握圓的切線的判定方法和切線的性質．

2．能夠運用切線的判定方法判斷一條直線是否是圓的切線．

3．綜合運用切線的判定和性質解決問題，培養學生的邏輯推理能力．

二、重點難點

教學重點：圓的切線的識別方法和圓的切線的性質，運用切線的判定方法判斷一條直線是否是圓的切線．

教學難點：在識別圓的切線時，輔助線的添加以及邏輯推理能力的培養．

三、導入新課

下雨天，當你轉動雨傘，你會發現雨傘上的水珠順著傘面的邊緣飛出．仔細觀察一下，水珠是順著什么樣的方向飛出的?這就是我們所要研究的直線與圓相切的情況．

新知探究

1．探究切線的判定

做一做：畫一個⊙O及半徑OA，畫一條直線經過⊙O的半徑的外端點A，且垂直于這條半徑OA，這條直線與圓有幾個交點?由此你能得到什么結論?你能說明理由嗎?

討論結果：從圖1可以看出，此時直線與圓只有一個交點，即直線是圓的切線．

在上任取一點P(除A外)，必有OP>OA，即P在圓外，所以直線

與圓只有一個公共點，即直線是圓的切線．由此我們可以得到

切線的判定方法：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

注意：利用判定定理時，一定要注意“過半徑的外端”而不是“過半徑的一端”

如圖2，直線AB垂直于半徑OC，直線AB是⊙O的切線嗎?如圖3，直線AB垂直于半徑0C，直線AB是⊙O的切線嗎?

在兩個圖中，直線AB都不是⊙O的切線．

易錯點：在運用判定定理時，只想到垂直于半徑，而忽略過“半徑外端”．

例1如圖4，已知直線AB經過⊙O上的點A，且AB=

直線AB是⊙O的切線嗎?為什么?

分析：要證明一條直線是圓的切線，必須符合兩個條件：其一是這條直線是否經過半徑外端，其二是這條直線是否與

這條半徑垂直．若滿足這兩個條件，就能說明這條直線是圓的

切線．

解：直線AB是O0的切線．

∵

∴

根據經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，

∴直線AB是⊙O的切線．

點評：判斷一條直線是否為圓的切線，主要有三種方法：

①當一條直線與圓只有一個公共點時，直線與圓相切；

②當圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；

③經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

2．切線的性質

提出問題：如果直線CD是⊙O的切線，點A為切點，那么半徑0A與CD垂直嗎?，

由于CD是⊙O的切線，圓心0到直線CD的距離等于半徑，所以0A是圓心0到CD的距離，因此CD⊥OA．則我們可得

切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.

由此，又給我們提供了一種在圓中作輔助線的方法：見切線．連切點和圓心，可構造垂直．

例3如圖6，已知⊙O的半徑為3，AC是⊙O的切線，切點為B，求么∠AOC的度數．

解：連結0B、OA、OC，

∵AC是⊙O的切線，

(圓的切線垂直于經過切點的半徑)

是直角三角形．

∵⊙O的半徑為3，

即

四、課堂小結

本節課學習了圓的切線的判定方法和切線的性質，能夠運用切線的判定方法判斷一條直線是否是圓的切線，綜合運用切線的判定和性質解決問題，培養自己的邏輯推理能力，并能通過作簡單的輔助線去解決某些問題．

五、布置作業

圓內角與圓外角的教案第 4 篇

　　教學內容

　　24。2圓的切線（1）

　　教學目標 使學生掌握切線的識別方法，并能初步運用它解決有關問題

　　通過切線識別方法的學習，培養學生觀察、分析、歸納問題的能力

　　教學重點 切線的識別方法

　　教學難點 方法的理解及實際運用

　　教具準備 投影儀，膠片

　　教學過程 教師活動 學生活動

　　（一）復習 情境導入

　　1、復習、回顧直線與圓的三 種位置關系。

　　2、請學生判斷直線和圓的位置關系。

　　學生判斷的過程，提問：你是怎樣判斷出圖中的直線和圓相切的？根據學生的回答，繼續提出 問題：如何界定直線與圓是否只有一個公共點？教師指出，根據切線的定義可以識別一條直線是不是圓的切線，但有時使用定義識別很不方便，為此我們還要學習識別切 線的其它方法。（板書課題） 搶答

　　學生總結判別方法

　　（二）

　　實踐與探索1：圓的切線的判斷方法 1、由上面 的復習，我們可以把上節課所學的切線的定義作為識別切線的方法1——定義法：與圓只有一個公共點的直線是圓的切線。

　　2、當然，我們還可以由上節課所學的用圓心到直線的距離 與半徑 之間的關系來判斷直線與圓是否相切，即：當 時，直線與圓的位置關系是相切。以此作為識別切線的方法2——數量關系法：圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線 。

　　3、實驗：作⊙O的半徑OA，過A作l⊥OA可以發現：

　　（1）直線 經過半徑 的外端點 ；

　　（2）直線 垂直于半徑 。這樣我們就得到了從位 置上來判斷直線是圓的切線的方法3——位置關系法：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 理解并識記圓的切線的幾種方法，并比較應用。

　　通過實驗探究圓的切線的位置判別方法，深入理解它的兩個要義。

　　三、課堂練習

　　思考：現在，任意給定一個圓，你能不能作出圓的切線？應該如何作？

　　請學生回顧作圖過程，切線 是如何作出來的？它滿足哪些條件？ 引導學生總結出：①經過半徑外端；②垂直于這條半徑。

　　請學生繼續思考：這兩個條件缺少一個行不行？ （學生畫出反例圖）

　　（圖1） （圖2） 圖（3）

　　圖（1）中直線 經過半徑外端，但不與半徑垂直； 圖（2）中直線 與半徑垂直，但不經過半徑外端。 從以上兩個反例可以看出，只滿足其中一個條件的直線不是圓的切線。

　　最后引導學生分析，方法3實際上是從前一節所講的“圓 心到直線的距離等于半徑時直線和圓相切”這個結論直接得出來的，只是為了便于應用把它改寫成“經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”這種形式。 試驗體會圓的位置判別方法。

　　理解位置判別方法的兩個要素。

　　（四）應用與拓展 例1、如圖，已知直線AB經過⊙O上的點A，并且AB＝OA，OBA=45，直線AB是⊙O的切線嗎？為什么？

　　例2、如圖，線段AB經過圓心O，交⊙O于點A、C，BAD＝B＝30，邊BD交圓于點D。BD是⊙ O的切線嗎？為什么？

　　分析：欲證BD是⊙O的切線，由于BD過圓上點D，若連結OD，則BD過半徑OD的外端，因此只需證明BD⊥OD，因OA＝OD，BAD＝B，易證BD⊥OD。

　　教師板演，給出解答過程及格式。

　　課堂練習：課本練習1－4 先選擇方法，弄清位置判別方法與數量判別方法的本質區別。

　　注意圓的切線的特征與識別的區別。

　　（四）小結與作業 識 別一條直線是圓的切線，有 三種方法：

　　（1）根據切線定義判定，即與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；

　　（2）根據圓心到直線的距離來判定，即與圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線；

　　（3）根據直線的位置關系來判定，即經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的 切線，

　　說明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線，如果 已知直線過圓上某 一點，則作出過 這一點的半徑，證明直線垂直于半徑即可（如例2）。

　　各抒己見，談收獲。

　　（五）板書設計

　　識別一條直線是圓的切線，有三種方法： 例：

　　（1 ）根據切線定義判定，即與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；

　　（2）根據圓心到直線的距離來判定，即與圓心的距離等于圓的'半徑的直線是圓 的切線；

　　（3）根據直線的位置關系來判定，即經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的 切線，

　　說明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線，如果已知直線過圓上某一點，則作出過 這一點的半徑，證明 直線垂直于半徑

　　（六）教學后記

　　教學內容 24。2圓的切線（2） 課型 新授課 課時 執教

　　教學目標 通過探究，使學生發現、掌握切線長定理，并初步長定理，并初步學會應用切線長定理解決問題，同時通過從三角形紙片中剪出最大圓的實驗的過程中發現三角形內切圓的畫法，能用內心的性質解決問題。

　　教學重點 切線長定理及其應用，三角形的內切圓的畫法和內心的性質。

　　教學難點 三角形的內心及其半徑的確定。

　　教具準備 投影儀，膠片

　　教學過程 教師 活動 學生活動

　　（一）復習導入：

　　請同學們回顧一下，如何判斷一條直線是圓的切線？圓的切線具有什么性質？（經過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經過切點的半徑。）

　　你能說明以下這個問題？

　　如右圖所示，PA是 的平分線，AB是⊙O的切線，切點E，那么AC是⊙O的切線嗎？為什么？

　　回顧舊知，看誰說的全。

　　利用舊知，分析解決該問題。

　　（二）

　　實踐與探索 問題1、從圓外一點可以作圓的幾條切線？請同學們畫一畫。

　　2、請問：這一點 與切點的 兩條線段的長度相等嗎？為什么？

　　3、切線長的定義是什么？

　　通過以 上幾個問題的解決，使同學們得出以下的結論：

　　從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等。這一點與圓心的連線

　　平分兩條切線的夾角。 在解決以上問題時，鼓勵同學們用不同的觀點、不同的知識來解決問題，它既可以用書上闡述的對稱的觀點解決，也可以用以前學習的其他知識來解決問題。

　　（三）拓展與應用 例：右圖，PA、PB是，切點分別是A、B，直線EF也是⊙O的切線，切點為P，交PA、PB為E、F點，已知 ， ，（1）求 的周長；（2）求 的度數。

　　解：（1）連結PA、PB、EF是⊙O的切線

　　所以 ， ，

　　所以 的周長 （2）因為PA、PB、EF是⊙O的切線

　　所以 ， ，，

　　所以

　　所以

　　畫圖分析探究，教學中應注重基本圖形的教學，引導學生發現基本圖形，應用基本圖形解決問題。

　　（四）小結與作業 談一下本節課的 收獲 ？ 各抒己見，看誰 說得最好

　　（五）板書設計

　　切線（2）

　　切線長相等 例：

　　切線長性質

　　點與圓心連 線平分兩切線夾角

　　（六）教學后記