這是總體均值的無偏估計，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

總體均值的無偏估計第 1 篇

在學完通過抽樣來收集數據后，我們必須通過圖、表計算來分析數據。這就需要對總體作出相應的估計。一般有兩種估計，一是用樣本頻率分布估計總體的分布，二是用樣本的數字特征估計總體的數字特征。

用樣本頻率分布估計總體的分布，可以用頻率分布表和頻率分布直方圖，此時要明確它的具體做法分五個步驟進行，知道直方圖中的小長方形的面積表示相應各組的頻率，了解應用直方圖的優缺點；再者就是莖葉圖也被用來表示數據，懂得如何作莖葉圖，特別指出葉是指數據中的最后一個數字，注意是否需要補0，當然也要知道它的優缺點。

用樣本的數字特征估計總體的數字特征，這里的數字特征包括眾數、中位數、平均數、標準差和方差。給出一組具體的樣本數據后，通過計算獲取的數字特征的值是準確的，但如果通過頻率分布直方圖獲取的，所得的數值只是近似值（如何算？）。對于標準差或方差，要懂得公式、取值范圍、和特點。

總體均值的無偏估計第 2 篇

1、數據的兩個特征：集中趨勢和波動性。集中趨勢指的是數據的“一般水平”或曰“平均水平”，波動性指的是數據圍繞“平均值”的變化情況。

2、反映數據“大多數水平”（集中趨勢）的量——眾數

眾數：即樣本數據中頻數最大（或頻率最高）的數據。

特點：①可以不存在或不止一個；

②不受極端數據的影響，求法簡單；

③可靠性差，如0，0，2，3，5這組數據中，眾數是0，它很難真實反映這組數據的“平均水平”（集中趨勢）；

④眾數在難以定義“平均數”或“中位數”時常用，故一般可用于統計非數字型數據，如“牛，羊，馬，魚，牛”這組數據中，眾數是“牛”；

⑤眾數在銷售統計中常用

3、反映數據“中間水平”（集中趨勢）的量——中位數

中位數：把一組數據按從小到大的數序排列，在中間的一個數字（或兩個數字的平均值）叫做這組數據的中位數。

特點：①中位數把樣本數據分為兩部分，一部分大于中位數，另一部分小于中位數；

②中位數不受少數幾個極端值的影響；

③由于當樣本數據為偶數個時，中位數等于中間兩個數據的平均值，因此有時中位數未必在樣本數據中

4、反映數據“平均水平”（集中趨勢）的量——平均數

平均數：所有數據之和再除以數據的個數所得值，又稱算術平均數。

公式：

特點：一般情況下能有效地反映數據的集中趨勢；但易受極端值的影響，在極差較大的情況下，不如眾數和中位數準確；

5、反映數據“波動范圍”的量——極差

極差（R）：一組測量數據中，最大值與最小值之差稱為極差

特點：極差只指明了測定值的最大離散范圍，而未能利用全部測量值的信息，不能精確反映測量值彼此相符合的程度；但計算簡單

6、反映數據“波動大小”的量——方差

方差：樣本中各數據與樣本平均數的差的平方的平均數叫做樣本方差（或均方差），隨機變量X的方差可記作：S2（或D（X））。

特點：①方差越大，數據的波動性越大；

②

7、反映數據“波動大小”的量——標準差

標準差：方差的平方根，記作S。

特點：①標準差越大，數據的波動性越大；

②

8、用樣本來估計總體：一般情況下，如果總體的容量較大，不便分析其數據特征，我們可以通過隨機抽取一定的樣本，通過樣本的數據特征來對總體的數據特征進行估計；但難免有一定誤差。

考點一 合理選擇統計量

例1、有一首打油詩“張村有個張千萬，隔壁九個窮光蛋，平均起來算一算，人人都是張百萬。”這首詩反映了什么現象？如何選擇恰當的統計量來反映該村的收入水平？某次數學考試，婷婷得到 78分。全班共30人，其他同學的成績為1個100分，4個90分，22個80分，以及1個2分和1個10分。婷婷計算出全班的平均分為 77分，所以婷婷告訴媽媽說，自己這次的成績在班上處于“中上水平”。她說得對嗎？如何選擇恰當的統計量來反映她的成績在班上的真實位置？

分析：在極差較大的情況下，用平均數來反映數據的特征往往出現較大的偏差，具體表現為標準差較大，如打油詩中數據的標準差達到了驚人的3000000，而婷婷班上成績數據的標準差也達到了19.93，所以才會出現基本上都是不名一文的村子卻“人人都是百萬富翁”以及排名倒數第三的成績成了“中上水平”的不正常現象。

解析：上述現象表明：平均數受極端值影響較大，在極差較大的情況下，不宜用平均數來刻畫數據的數字特征，可選用眾數或中位數。

考點二 從統計圖表中提取樣本的數字特征

例2、已知一組數據共有二十個，它的頻率分布直方圖如下（縱軸表示頻率）：

試根據上圖寫出該組數據的中位數，眾數，平均數并求其標準差。

分析：①了解頻率分布直方圖的意義；②了解所求各量的意義。

解析：由圖可知：該組數據的中位數是

，眾數是5，平均數

標準差S=1.64

說明：如果已知各數據的頻率，則求平均值時對頻率與對應數據的積求和即可，即

。

考點三 反映數據集中趨勢的常用量——平均值

例3、在一次射擊訓練中，甲乙兩位選手分別進行了10次射擊測試，中靶成績如下：

甲

10

10

9

9

8

10

10

7

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

7

9

10

8

根據上表數據計算，誰的成績更好？

分析：①本題是根據10次測試的成績來對選手的競技狀態進行評價，屬于根據樣本來對總體進行估計；②兩組數據的極差均不大，因此可選用平均數來進行估計。

解析：

，因為

，因此甲的成績好于乙的成績。

考點四 反映數據波動性的常用量——方差或標準差

例4、甲乙兩位選手在射擊訓練中的測試成績如下：

甲

10

10

9

9

9

9

8

9

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

9

9

10

8

根據上表回答：

①哪位選手的狀態更好？

②按照歷次比賽的數據統計，獲獎選手平均中靶的環數至少為9.5，那么應該派哪位選手參賽較好？

分析：①以這10次測試的平均成績來進行估計；②經過計算可知，兩位選手的平均成績都不超過9.5，可結合穩定性來考慮；顯然，穩定性越好，獲獎的可能性越小。

解析：①

，因此兩位選手的平均成績是相同的；但是，S甲=0.67，S乙=1.25，因為S甲乙，所以甲發揮得更穩定；

②由于

，且S甲乙，因此可派出乙選手參加比賽。

說明：對第二個問題的處理，也可結合眾數進行。甲的數據的眾數是9，乙的數據的眾數是10和9，反映出大多數情況下，甲能打出9環，而乙能打出9環或10環。

總體均值的無偏估計第 3 篇

1 、數據的兩個特征：集中趨勢和波動性。集中趨勢指的是數據的“一般水平”或曰“平均水平”，波動性指的是數據圍繞“平均值”的變化情況。

2 、反映數據“大多數水平”（集中趨勢）的量——眾數

眾數：即樣本數據中頻數最大（或頻率最高）的數據。

特點：①可以不存在或不止一個；

②不受極端數據的影響，求法簡單；

③可靠性差，如0 ，0 ，2 ，3 ，5 這組數據中，眾數是0 ，它很難真實反映這組數據的“平均水平”（集中趨勢）；

④眾數在難以定義“平均數”或“中位數”時常用，故一般可用于統計非數字型數據，如“牛，羊，馬，魚，牛”這組數據中，眾數是“牛”；

⑤眾數在銷售統計中常用

3 、反映數據“中間水平”（集中趨勢）的量——中位數

中位數：把一組數據按從小到大的數序排列，在中間的一個數字（或兩個數字的平均值）叫做這組數據的中位數。

特點：①中位數把樣本數據分為兩部分，一部分大于中位數，另一部分小于中位數；

②中位數不受少數幾個極端值的影響；

③由于當樣本數據為偶數個時，中位數等于中間兩個數據的平均值，因此有時中位數未必在樣本數據中

4 、反映數據“平均水平”（集中趨勢）的量——平均數

平均數：所有數據之和再除以數據的個數所得值，又稱算術平均數。

公式：

特點：一般情況下能有效地反映數據的集中趨勢；但易受極端值的影響，在極差較大的情況下，不如眾數和中位數準確；

5 、反映數據“波動范圍”的量—— 極差

極差（R ）：一組測量數據中，最大值與最小值之差稱為極差

特點：極差只指明了測定值的最大離散范圍，而未能利用全部測量值的信息，不能精確反映測量值彼此相符合的程度；但計算簡單

6 、反映數據“波動大小”的量—— 方差

方差：樣本中各數據與樣本平均數的差的平方的平均數叫做樣本方差（或均方差），隨機變量X 的方差可記作：S 2 （或D （X ））。

特點：①方差越大，數據的波動性越大；

②

7 、反映數據“波動大小”的量—— 標準差

標準差：方差的平方根，記作S 。

特點：①標準差越大，數據的波動性越大；

②

8 、用樣本來估計總體：一般情況下，如果總體的容量較大，不便分析其數據特征，我們可以通過隨機抽取一定的樣本，通過樣本的數據特征來對總體的數據特征進行估計；但難免有一定誤差。

考點一合理選擇統計量

例1 、有一首打油詩“張村有個張千萬，隔壁九個窮光蛋，平均起來算一算，人人都是張百萬。” 這首詩反映了什么現象？如何選擇恰當的統計量來反映該村的收入水平？某次數學考試，婷婷得到78 分。全班共30 人，其他同學的成績為1 個100 分，4 個90 分，22 個80 分，以及1 個2 分和1 個10 分。婷婷計算出全班的平均分為77 分，所以婷婷告訴媽媽說，自己這次的成績在班上處于“中上水平”。她說得對嗎？如何選擇恰當的統計量來反映她的成績在班上的真實位置？

解析：上述現象表明：平均數受極端值影響較大，在極差較大的情況下，不宜用平均數來刻畫數據的數字特征，可選用眾數或中位數。

考點二從統計圖表中提取樣本的數字特征

例2 、已知一組數據共有二十個，它的頻率分布直方圖如下（縱軸表示頻率）：

試根據上圖寫出該組數據的中位數，眾數，平均數并求其標準差。

分析：①了解頻率分布直方圖的意義；②了解所求各量的意義。

由圖可知：該組數據的中位數是，眾數是5 ，平均數

標準差S=1.64

說明：如果已知各數據的頻率，則求平均值時對頻率與對應數據的積求和即可，即

。

考點三反映數據集中趨勢的常用量——平均值

例3 、在一次射擊訓練中，甲乙兩位選手分別進行了10 次射擊測試，中靶成績如下：

甲

10

10

9

9

8

10

10

7

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

7

9

10

8

根據上表數據計算，誰的成績更好？

分析：①本題是根據10 次測試的成績來對選手的競技狀態進行評價，屬于根據樣本來對總體進行估計；②兩組數據的極差均不大，因此可選用平均數來進行估計。

，因為，因此甲的成績好于乙的成績。

考點四反映數據波動性的常用量——方差或標準差

例4 、甲乙兩位選手在射擊訓練中的測試成績如下：

甲

10

10

9

9

9

9

8

9

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

9

9

10

8

根據上表回答：

①哪位選手的狀態更好？

②按照歷次比賽的數據統計，獲獎選手平均中靶的環數至少為9.5 ，那么應該派哪位選手參賽較好？

分析：①以這10 次測試的平均成績來進行估計；②經過計算可知，兩位選手的平均成績都不超過9.5 ，可結合穩定性來考慮；顯然，穩定性越好，獲獎的可能性越小。

①，因此兩位選手的平均成績是相同的；但是，S 甲=0.67 ，S 乙=1.25 ，因為S 甲

②由于S 甲

說明：對第二個問題的處理，也可結合眾數進行。甲的數據的眾數是9 ，乙的數據的眾數是10 和9 ，反映出大多數情況下，甲能打出9 環，而乙能打出9 環或10 環。

總體均值的無偏估計第 4 篇

1、數據的兩個特征：集中趨勢和波動性。集中趨勢指的是數據的“一般水平”或曰“平均水平”，波動性指的是數據圍繞“平均值”的變化情況。

2、反映數據“大多數水平”（集中趨勢）的量——眾數

眾數：即樣本數據中頻數最大（或頻率最高）的數據。

特點：①可以不存在或不止一個；

②不受極端數據的影響，求法簡單；

③可靠性差，如0，0，2，3，5這組數據中，眾數是0，它很難真實反映這組數據的“平均水平”（集中趨勢）；

④眾數在難以定義“平均數”或“中位數”時常用，故一般可用于統計非數字型數據，如“牛，羊，馬，魚，牛”這組數據中，眾數是“牛”；

⑤眾數在銷售統計中常用

3、反映數據“中間水平”（集中趨勢）的量——中位數

中位數：把一組數據按從小到大的數序排列，在中間的一個數字（或兩個數字的平均值）叫做這組數據的中位數。

特點：①中位數把樣本數據分為兩部分，一部分大于中位數，另一部分小于中位數；

②中位數不受少數幾個極端值的影響；

③由于當樣本數據為偶數個時，中位數等于中間兩個數據的平均值，因此有時中位數未必在樣本數據中

4、反映數據“平均水平”（集中趨勢）的量——平均數

平均數：所有數據之和再除以數據的個數所得值，又稱算術平均數。

公式：

特點：一般情況下能有效地反映數據的集中趨勢；但易受極端值的影響，在極差較大的情況下，不如眾數和中位數準確；

5、反映數據“波動范圍”的量——極差

極差（R）：一組測量數據中，最大值與最小值之差稱為極差

特點：極差只指明了測定值的最大離散范圍，而未能利用全部測量值的信息，不能精確反映測量值彼此相符合的程度；但計算簡單

6、反映數據“波動大小”的量——方差

方差：樣本中各數據與樣本平均數的差的平方的平均數叫做樣本方差（或均方差），隨機變量X的方差可記作：S2（或D（X））。

特點：①方差越大，數據的波動性越大；

②

7、反映數據“波動大小”的量——標準差

標準差：方差的平方根，記作S。

特點：①標準差越大，數據的波動性越大；

②

8、用樣本來估計總體：一般情況下，如果總體的容量較大，不便分析其數據特征，我們可以通過隨機抽取一定的樣本，通過樣本的數據特征來對總體的數據特征進行估計；但難免有一定誤差。

【典型例題】

考點一 合理選擇統計量

例1、有一首打油詩“張村有個張千萬，隔壁九個窮光蛋，平均起來算一算，人人都是張百萬。”這首詩反映了什么現象？如何選擇恰當的統計量來反映該村的收入水平？某次數學考試，婷婷得到 78分。全班共30人，其他同學的成績為1個100分，4個90分，22個80分，以及1個2分和1個10分。婷婷計算出全班的平均分為 77分，所以婷婷告訴媽媽說，自己這次的成績在班上處于“中上水平”。她說得對嗎？如何選擇恰當的統計量來反映她的成績在班上的真實位置？

【分析】在極差較大的情況下，用平均數來反映數據的特征往往出現較大的偏差，具體表現為標準差較大，如打油詩中數據的標準差達到了驚人的3000000，而婷婷班上成績數據的標準差也達到了19.93，所以才會出現基本上都是不名一文的村子卻“人人都是百萬富翁”以及排名倒數第三的成績成了“中上水平”的不正常現象。

【答】上述現象表明：平均數受極端值影響較大，在極差較大的情況下，不宜用平均數來刻畫數據的數字特征，可選用眾數或中位數。

考點二 從統計圖表中提取樣本的數字特征

例2、已知一組數據共有二十個，它的頻率分布直方圖如下（縱軸表示頻率）：

試根據上圖寫出該組數據的中位數，眾數，平均數并求其標準差。

【分析】①了解頻率分布直方圖的意義；②了解所求各量的意義。

【解】由圖可知：該組數據的中位數是，眾數是5，平均數

標準差S=1.64

【說明】如果已知各數據的頻率，則求平均值時對頻率與對應數據的積求和即可，即。

考點三 反映數據集中趨勢的常用量——平均值

例3、在一次射擊訓練中，甲乙兩位選手分別進行了10次射擊測試，中靶成績如下：

甲

10

10

9

9

8

10

10

7

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

7

9

10

8

根據上表數據計算，誰的成績更好？

【分析】①本題是根據10次測試的成績來對選手的競技狀態進行評價，屬于根據樣本來對總體進行估計；②兩組數據的極差均不大，因此可選用平均數來進行估計。

【解】，因為，因此甲的成績好于乙的成績。

考點四 反映數據波動性的常用量——方差或標準差

例4、甲乙兩位選手在射擊訓練中的測試成績如下：

甲

10

10

9

9

9

9

8

9

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

9

9

10

8

根據上表回答：

①哪位選手的狀態更好？

②按照歷次比賽的數據統計，獲獎選手平均中靶的環數至少為9.5，那么應該派哪位選手參賽較好？

【分析】①以這10次測試的平均成績來進行估計；②經過計算可知，兩位選手的平均成績都不超過9.5，可結合穩定性來考慮；顯然，穩定性越好，獲獎的可能性越小。

【解】①，因此兩位選手的平均成績是相同的；但是，S甲=0.67，S乙=1.25，因為S甲<>乙，所以甲發揮得更穩定；

②由于，且S甲<>乙，因此可派出乙選手參加比賽。

說明：對第二個問題的處理，也可結合眾數進行。甲的數據的眾數是9，乙的數據的眾數是10和9，反映出大多數情況下，甲能打出9環，而乙能打出9環或10環。