這是全稱量詞和存在量詞講課，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

全稱量詞和存在量詞講課第1篇

　摘 要：全稱量詞與存在量詞是普通高中課程標準實驗教科書數學選修教材中一對非常重要的概念，同時，這兩個概念又是非常抽象且難以理解的，學生不容易接受，作為教師則應該全方位、多角度教授學生。

　　關鍵詞：全稱量詞；存在量詞；教學

　　在教學中，作為教師，應該全面理解和把握教材的編寫意圖，本節內容安排在學生學習了命題及命題的否定之后，旨在通過豐富的實例，使學生了解生活和數學中經常使用的兩類量詞即全稱量詞與存在量詞的含義，會判斷含有一個量詞的全稱命題和一個量詞的特稱命題的真假，會正確地寫出這兩類命題的否定，認識到含有一個量詞的全稱命題的否定是特稱命題，含有一個量詞的特稱命題的否定是全稱命題的規律。

　　所以，上課的時候我首先通過多媒體展示教學重點和難點，本節教材的重點是通過生活和數學中的豐富實例，理解和掌握全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定；難點是全稱命題和特稱命題的真假的判定，以及寫出含有一個量詞的命題的否定。其次，創設情境，引入這兩個基本概念。引導學生回顧命題的概念，然后思考和討論教材中第21頁（普通高中課程標準實驗教科書數學選修教材1-1）的思考題，學生根據命題的概念判斷出思考題中（1）（2）不是命題，而（3）（4）是命題，通過對比，激發學生對這類題型的`興趣，由此引出全稱量詞的概念、符號以及全稱命題的概念。全稱量詞有許多種表述形式，除了思考題中出現的兩種外，教科書的旁白中也列舉了其他幾種的表述方式，我在教學中還引導學生尋找其他的數學例子，以加深學生對全稱量詞的認識和理解。比如，每一個三角形都存在外接圓；所有的實數都有算數平方根；對一切無理數x，3x+2還是無理數等等。

　　符號語言是數學的基本語言，在教學中，我充分利用這一點，使用符號語言簡潔、準確地表達數學的一些內容。比如教材中將含有變量x的陳述句用符號p（x），q（x），r（x）等表示，所以我們也就可以用符號表示全稱命題“對M中任意一個x，有p（x）成立（略）。

　　在教學過程中，我們要鼓勵學生適當使用符號語言來表達數學的一些內容，這樣就比語言敘述簡潔多了。

　　在教學中，作為教師應該多思考，找到一些讓學生容易接受、便于接受、樂于接受的教學方法，做到自己頭腦的隨時更新，以便適應新教材、新課標、新學生，提高自己的教學水平，成為一名合格乃至優秀的教師。

全稱量詞和存在量詞講課第2篇

離散數學全稱量詞和存在量詞

題目：答案：a) The assertion “Every winter day is cold and dark.” can be expressed

∀(d), winter(d) ⇒ cold(d) ∧ dark(d) .

b) The assertion “No day is cold when it is not winter.” can be expressed

¬∃(d), ¬winter(d) ∧ cold(d).

a問懂,但是b問弄不明白,求大神解釋一下!另外b問有其他表達方式嗎?

全稱量詞和存在量詞講課第3篇

　　導學目標：

　　1.了解邏輯聯結詞“或、且、非”的含義.

　　2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

　　自主梳理

　　1.邏輯聯結詞

　　命題中的或，且，非叫做邏輯聯結詞.“p且q”記作p∧q，“p或q”記作p∨q，“非p”記作綈p.

　　2.命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷

　　p q p∧q p∨q 綈p

　　真 真 真 真 假

　　真 假 假 真 假

　　假 真 假 真 真

　　假 假 假 假 真

　　3.全稱量詞與存在量詞

　　(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“∀”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題，可用符號簡記為∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x).

　　(2)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“∃”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，可用符號簡記為∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x).

　　自我檢測

　　1.命題“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是(

　　)

　　A.∃x∈R，x2-2x+1≥0 B.∃x∈R，x2-2x+1>0

　　C.∀x∈R，x2-2x+1≥0 D.∀x∈R，x2-2x+1<0

　　答案　C

　　解析　因要否定的命題是特稱命題，而特稱命題的否定為全稱命題.對x2-2x+1<0的否定為x2-2x+1≥0，故選C.

　　2.若命題p：x∈A∩B，則綈p是(

　　)

　　A.x∈A且x B B.x A或x B

　　C.x A且x B D.x∈A∪B

　　答案　B

　　解析　∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，

　　∴綈p：x A或x B.

　　3.(2011•大連調研)若p、q是兩個簡單命題，且“p∨q”的否定是真命題，則必有(

　　)

　　A.p真q真 B.p假q假

　　C.p真q假 D.p假q真

　　答案　B

　　解析　∵“p∨q”的否定是真命題，

　　∴“p∨q”是假命題，∴p，q都假.

　　4.(2010•湖南)下列命題中的假命題是(

　　)

　　A.∀x∈R,2x-1>0

　　B.∀x∈N*，(x-1)2>0

　　C.∃x∈R，lg x<1

　　D.∃x∈R，tan x=2

　　答案　B

　　解析　對于B選項x=1時，(x-1)2=0.

　　5.(2009•遼寧)下列4個命題：

　　p1：∃x∈(0，+∞)，(12)x<(13)x;

　　p2：∃x∈(0,1)，log12x>log13x;

　　p3：∀x∈(0，+∞)，(12)x>log12x;

　　p4：∀x∈(0，13)，(12)x

　　其中的真命題是(

　　)

　　A.p1，p3 B.p1，p4

　　C.p2，p3 D.p2，p4

　　答案　D

　　解析　取x=12，則log12x=1，log13x=log32<1，

　　p2正確.

　　當x∈(0，13)時，(12)x<1，而log13x>1，p4正確.

　　探究點一　判斷含有邏輯聯結詞的命題的真假

　　例1 　寫出由下列各組命題構成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的復合命題，并判斷真假.

　　(1)p：1是素數;q：1是方程x2+2x-3=0的根;

　　(2)p：平行四邊形的對角線相等;q：平行四邊形的對角線互相垂直;

　　(3)p：方程x2+x-1=0的兩實根的符號相同;q：方程x2+x-1=0的兩實根的絕對值相等.

　　解題導引　正確理解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義是解題的關鍵，應根據組成各個復合命題的語句中所出現的邏輯聯結詞進行命題結構與真假的判斷.其步驟為：①確定復合命題的構成形式;②判斷其中簡單命題的真假;③根據其真值表判斷復合命題的真假.

　　解　(1)p∨q：1是素數或是方程x2+2x-3=0的根.真命題.

　　p∧q：1既是素數又是方程x2+2x-3=0的根.假命題.

　　綈p：1不是素數.真命題.

　　(2)p∨q：平行四邊形的對角線相等或互相垂直.假命題.

　　p∧q：平行四邊形的對角相等且互相垂直.假命題.

　　綈p：有些平行四邊形的對角線不相等.真命題.

　　(3)p∨q：方程x2+x-1=0的兩實根的符號相同或絕對值相等.假命題.

　　p∧q：方程x2+x-1=0的兩實根的符號相同且絕對值相等.假命題.

　　綈p：方程x2+x-1=0的兩實根的符號不相同.真命題.

　　變式遷移1　(2011•廈門月考)已知命題p：∃x∈R，使tan x=1，命題q：x2-3x+2<0的解集是{x|1

　　①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧綈q”是假命題;③命題“綈p∨q”是真命題;④命題“綈p∨綈q”是假命題，其中正確的是(

　　)

　　A.②③ B.①②④

　　C.①③④ D.①②③④

　　答案　D

　　解析　命題p：∃x∈R，使tan x=1是真命題，命題q：x2-3x+2<0的解集是{x|1

　　∴①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧綈q”是假命題;

　　③命題“綈p∨q”是真命題;④命題“綈p∨綈q”是假命題.

　　探究點二　全(特)稱命題及真假判斷

　　例2 　判斷下列命題的真假.

　　(1)∀x∈R，都有x2-x+1>12.

　　(2)∃α，β使cos(α-β)=cos α-cos β.

　　(3)∀x，y∈N，都有x-y∈N.

　　(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0+y0=3.

　　解題導引　判定一個全(特)稱命題的真假的方法：

　　(1)全稱命題是真命題，必須確定對集合中的每一個元素都成立，若是假命題，舉反例即可.

　　(2)特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個元素使得命題成立.

　　解　(1)真命題，

　　因為x2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.

　　(2)真命題，如α=π4，β=π2，符合題意.

　　(3)假命題，例如x=1，y=5，但x-y=-4 N.

　　(4)真命題，例如x0=0，y0=3符合題意.

　　變式遷移2　(2011•日照月考)下列四個命題中，其中為真命題的是(

　　)

　　A.∀x∈R，x2+3<0

　　B.∀x∈N，x2≥1

　　C.∃x∈Z，使x5<1

　　D.∃x∈Q，x2=3

　　答案　C

　　解析　由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2+3≥3，所以命題“∀x∈R，x2+3<0”為假命題;

　　由于0∈N，當x=0時，x2≥1不成立，所以命題“∀x∈N，x2≥1”為假命題;

　　由于-1∈Z，當x=-1時，x5<1，所以命題“∃x∈Z，使x5<1”為真命題;

　　由于使x2=3成立的數只有±3，而它們都不是有理數，因此沒有任何一個有理數的平方能等于3，所以命題“∃x∈Q，x2=3”為假命題.

　　探究點三　全稱命題與特稱命題的否定

　　例3 　寫出下列命題的“否定”，并判斷其真假.

　　(1)p：∀x∈R，x2-x+14≥0;

　　(2)q：所有的正方形都是矩形;

　　(3)r：∃x∈R，x2+2x+2≤0;

　　(4)s：至少有一個實數x，使x3+1=0.

　　解題導引　(1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區別，全(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或把存在量詞改為全稱量詞)，并把結論否定;而一般命題的否定則是直接否定結論即可.

　　(2)要判斷“綈p”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷p的真假.因為p與綈p的真假相反且一定有一個為真，一個為假.

　　解　(1)綈p：∃x∈R，x2-x+14<0，這是假命題，

　　因為∀x∈R，x2-x+14=(x-12)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假.

　　(2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，是假命題.

　　(3)綈r：∀x∈R，x2+2x+2>0，是真命題，這是由于∀x∈R，x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.

　　(4)綈s：∀x∈R，x3+1≠0，是假命題，這是由于x=-1時，x3+1=0.

　　變式遷移3　(2009•天津)命題“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(

　　)

　　A.不存在x0∈R,2x0>0

　　B.存在x0∈R,2x0≥0

　　C.對任意的x∈R,2x≤0

　　D.對任意的x∈R,2x>0

　　答案　D

　　解析　本題考查全稱命題與特稱命題的否定.原命題為特稱命題，其否定應為全稱命題，而“≤”的否定是“>”，所以其否定為“對任意的x∈R,2x>0”.

　　轉化與化歸思想的應用

　　例 　(12分)已知命題p：“∀x∈[1,2]，x2-a≥0”，命題q：“∃x0∈R，x20+2ax0+2-a=0”，若命題“p且q”是真命題，求實數a的取值范圍.

　　【答題模板】

　　解　由“p且q”是真命題，

　　則p為真命題，q也為真命題. [3分]

　　若p為真命題，a≤x2恒成立，

　　∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]

　　若q為真命題，

　　即x2+2ax+2-a=0有實根，

　　Δ=4a2-4(2-a)≥0，

　　即a≥1或a≤-2， [10分]

　　綜上，所求實數a的取值范圍為a≤-2或a=1. [12分]

　　【突破思維障礙】

　　含有邏輯聯結詞的命題要先確定構成命題的(一個或兩個)命題的真假，求出參數存在的條件，命題p轉化為恒成立問題，命題q轉化為方程有實根問題，最后再求出含邏輯聯結詞的命題成立的條件.若直接求p成立的條件困難，可轉化成求綈p成立的條件，然后取補集.

　　【易錯點剖析】

　　“p且q”為真是全真則真，要區別“p或q”為真是一真則真，命題q就是方程x2+2ax+2-a=0有實根，所以Δ≥0.不是找一個x0使方程成立.

　　1.邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義的理解.

　　(1)“或”與日常生活用語中的“或”意義有所不同，日常用語“或”帶有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而邏輯聯結詞“或”含有“同時兼有”的意思，如x<6或x>9.

　　(2)命題“非p”就是對命題“p”的否定，即對命題結論的否定;否命題是四種命題中的一種，是對原命題條件和結論的同時否定.

　　2.判斷復合命題的真假，要首先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后根據真值表判斷.

　　3.全稱命題“∀x∈M，p(x)”的否定是一個特稱命題“∃x∈M，綈p(x)”，

　　特稱命題“∃x∈M，p(x)”的否定是一個全稱命題“∀x∈M，綈p(x)”.

　　(滿分：75分)

　　一、選擇題(每小題5分，共25分)

　　1.(2011•宣城模擬)已知命題p：∃x∈R，x2-3x+3≤0，則(

　　)

　　A.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為真命題

　　B.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為假命題

　　C.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為真命題

　　D.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為假命題

　　答案　C

　　解析　命題p是一個特稱命題，它的否定綈p：對所有的x∈R，都有x2-3x+3>0為真.故答案為C.命題的否定要否定量詞，即全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，而且要否定結論.

　　2.已知命題p：∀x∈R，ax2+2x+3>0，如果命題綈p是真命題，那么實數a的取值范圍是(

　　)

　　A.a<13 B.a≤13

　　C.0

　　答案　B

　　解析　∵命題綈p是真命題，∴命題p是假命題，而當命題p是真命題時，不等式ax2+2x+3>0對一切x∈R恒成立，這時應有a>0，Δ=4-12a<0，解得a>13.因此當命題p是假命題，即命題綈p是真命題時，

　　實數a的范圍是a≤13.

　　3.(2011•龍巖月考)已知條件p：|x+1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范圍是(

　　)

　　A.a≥1 B.a≤1

　　C.a≥-3 D.a≤-3

　　答案　A

　　解析　 綈p是綈q的充分不必要條件的等價命題為q是p的充分不必要條件，即q⇒p，而p q，條件p化簡為x>1或x<-3，所以當a≥1時，q⇒p.

　　4.已知命題“∀a，b∈R，如果ab>0，則a>0”，則它的否命題是(

　　)

　　A.∀a，b∈R，如果ab<0，則a<0

　　B.∀a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0

　　C.∃a，b∈R，如果ab<0，則a<0

　　D.∃a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0

　　答案　B

　　解析　∀a，b∈R是大前堤，在否命題中也不變，又因ab>0，a>0的否定分別為ab≤0，a≤0，故選B.

　　5.(2011•寧波調研)下列有關命題的說法正確的是(

　　)

　　A.命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”

　　B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件

　　C.命題“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1<0”

　　D.命題“若x=y，則sin x=sin y”的逆否命題為真命題

　　答案　D

　　二、填空題(每小題4分，共12分)

　　6.(2010•安徽)命題“對∀x∈R，|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________.

　　答案　∃x∈R，|x-2|+|x-4|≤3

　　7.已知命題p：“∀x∈R，∃m∈R使4x-2x+1+m=0”，若命題綈p是假命題，則實數m的取值范圍為__________.

　　答案　m≤1

　　解析　命題綈p是假命題，即命題p是真命題，也就是關于x的方程4x-2x+1+m=0有

　　實數解，即m=-(4x-2x+1)，令f(x)=-(4x-2x+1)，由于f(x)=-(2x-1)2+1，所以當x-Ray

　　時f(x)≤1，因此實數m的取值范圍是m≤1.

　　8.(2010•安徽)命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是

　　______________________.

　　答案　對任意x∈R，都有x2+2x+5≠0

　　解析　因特稱命題的否定是全稱命題，所以得：對任意x∈R，都有x2+2x+5≠0.

　　三、解答題(共38分)

　　9.(12分)分別指出由下列命題構成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命題的真假.

　　(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3};

　　(2)p：1是奇數，q：1是質數;

　　(3)p：0∈∅，q：{x|x2-3x-5<0}⊆R;

　　(4)p：5≤5，q：27不是質數.

　　解　(1)∵p是假命題，q是真命題，

　　∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，

　　綈p為真命題.(3分)

　　(2)∵1是奇數，

　　∴p是真命題.

　　又∵1不是質數，

　　∴q是假命題.

　　因此p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為假命題.(6分)

　　(3)∵0 ∅，∴p為假命題.

　　又∵x2-3x-5<0⇒3-292

　　∴{x|x2-3x-5<0}={x|3-292

　　∴q為真命題.

　　∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為真命題.(9分)

　　(4)顯然p：5≤5為真命題，q：27不是質數為真命題，

　　∴p∨q為真命題，p∧q為真命題，綈p為假命題.

　　(12分)

　　10.(12分)(2011•錦州月考)命題p：關于x的不等式x2+2ax+4>0對一切x∈R恒成立，q：函數f(x)=(3-2a)x是增函數，若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍.

　　解　設g(x)=x2+2ax+4，

　　由于關于x的不等式x2+2ax+4>0對一切x∈R恒成立，所以函數g(x)的圖象開口向上且與x軸沒有交點，

　　故Δ=4a2-16<0，∴-2

　　又∵函數f(x)=(3-2a)x是增函數，

　　∴3-2a>1，∴a<1.(6分)

　　又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假.

　　(1)若p真q假，則-2

　　∴1≤a<2;(8分)

　　(2)若p假q真，

　　則a≤-2，或a≥2，a<1，∴a≤-2.(10分)

　　綜上可知，所求實數a的取值范圍為

　　1≤a<2，或a≤-2.(12分)

　　11.(14分)已知p：x2+mx+1=0有兩個不等的負根，q：4x2+4(m-2)x+1=0無實根.若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍.

　　解　p：x2+mx+1=0有兩個不等的負根⇔Δ1=m2-4>0-m<0⇔m>2.(3分)

　　q：4x2+4(m-2)x+1=0無實根.

　　⇔Δ2=16(m-2)2-16<0⇔1

　　因為p或q為真，p且q為假，所以p與q的真值相反.

　　①當p真且q假時，有m>2m≤1或m≥3

　　⇒m≥3;(10分)

　　②當p假且q真時，有m≤21

　　綜上可知，m的取值范圍為{m|1

　　《全稱量詞與存在量詞》練習題及答案

　　一、選擇題(每小題3分,共18分)

　　1.(2014•煙臺高二檢測)對下列命題的否定說法錯誤的是(

　　)

　　A.p:能被2整除的數是偶數; p:存在一個能被2整除的數不是偶數

　　B.p:有些矩形是正方形; p:所有的矩形都不是正方形

　　C.p:有的三角形為正三角形; p:所有的三角形不都是正三角形

　　D.p:∃x0∈R, +x0+2≤0; p:∀x∈R,x2+x+2>0

　　【解析】選C.“有的三角形為正三角形”為特稱命題,其否定為全稱命題:所有的三角形都不是正三角形,故選項C錯誤.

　　2.關于命題p:“∀x∈R,x2+1≠0”的敘述正確的是(

　　)

　　A. p:∃x0∈R, +1≠0

　　B. p:∀x∈R,x2+1=0

　　C.p是真命題, p是假命題

　　D.p是假命題, p是真命題

　　【解析】選C.命題p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x 0∈R, +1=0”.所以p是真命題, p是假命題.

　　3.(2014•廣州高二檢測)命題“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是(

　　)

　　A.∃x0>0,使得 -x0≤0

　　B.∃x0>0,使得 -x0>0

　　C.∀x>0,都有x2-x>0

　　D.∀x≤0,都有x2-x>0

　　【解析】選B.由含有一個量詞的命題的否定易知選B.

　　【變式訓練】已知命題p:∃x0∈R, +1<0,則 p是(

　　)

　　A.∃x0∈R, +1≥0 B.∀x∈R,x2+1≥0

　　C.∃x0∈R, +1≠0 D.∀x∈R,x2+1<0

　　【解析】選B.命題p是一個特稱命題,其否定為全稱命題, p:∀x∈R,x2+1≥0.

　　4.已知命題p:“對∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x•m+1=0”.若命題 p是假命題,則實數m的取值范圍是(

　　)

　　A.-2≤m≤2 B.m≥2

　　C.m≤-2 D.m≤-2或m≥2

　　【解題指南】根據p與 p的真假性相反知p是真命題,然后求m的取值范圍即可.

　　【解析】選C.因為 p是假命題,所以p是真命題.X kB1.cOM

　　所以m=- ≤-2.

　　5.已知命題p:∀x∈R,2x2+2x+ <0;命題q:∃x0∈R,sinx0-cosx0= ,則下列判斷正確的是(

　　)

　　A.p是真命題 B.q是假命題

　　C. p是假命題 D. q是假命題

　　【解析】選D.因為2x2+2x+ = (2x+1)2≥0,所以p是假命題.又因為sinx-cosx= sin ,所以 ∃x0= ,使sinx0-cosx0= ,故q是真命題,故選D.

　　6.(2013•衡水高二檢測)已知p:存在x0∈R,m +1≤0;q:對任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q為假,則實數m的取值范圍為(

　　)

　　A.m≤-2 B.m≥2

　　C.m≥2或m≤-2 D.-2≤m≤2

　　【解題指南】先判斷命題p,q的真假,轉化為含有一個量詞的命題的否定求參數的取值范圍,再求交集.

　　【解析】選B.由p或q為假,得p,q都是假命題,從而 p, q都是真命題.

　　p:對任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;

　　q:存在x0∈R, +mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,

　　解得m≥2或m≤-2.

　　綜上所述,m≥2為所求.

　　二、填空題(每小題4分,共12分)

　　7.(2014•深圳高二檢測)命題“同位角相等”的否定為

　　

　　

　　

　　,否命題為　________________________.

　　【解析】全稱命題的否定是特稱命題,“若p,則q”的否命題是“若 p,則 q”.故否定為:有的同位角不相等.否命題為:若兩個角不是同位角,則它們不相等.

　　答案:有的同位角不相等　若兩個角不是同位角,則它們不相等

　　【誤區警示】解答本題易混淆命題的否定與否命題的概念,命題的否定只否定結論,而否命題既否定條件又否定結論.

　　8.(2014•長春高二檢測)設命題p:∀x∈R,x2+ax+2<0,若 p為真,則實數a的取值范圍是　___________________.

　　【解析】因為 p為真,又 p:∃x0∈R, +ax0+2≥0,而函數f(x)=x2+ax+2開口向上,所以a∈R.

　　答案:a∈R

　　9.命題“∃x0,y0<0, + ≥2x0y0”的否定為 　______ ________________.

　　【解析】命題是特稱命題,其 否定是全稱命題,否定為:∀x,y<0,x2+y2<2xy.

　　答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy

　　三、解答題(每小題10分,共20分)

　　10.(2014•日照高二檢測)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0,且p∧q為真,求實數m的取值范圍.

　　【解析】2x>m(x2+1)可化為mx2-2x+m<0.

　　若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)為真,

　　則mx2-2x+m<0對任意的x∈R恒成立.

　　當m=0時,不等式可化為-2x<0,顯然不恒成立;

　　當m≠0時,有m<0,Δ=4-4m2<0,

　　所以m<-1.[來

　　若q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0為真,

　　則方程 +2x0-m-1=0有實根,

　　所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.

　　又p∧q為真,故p,q均為真命題.

　　所以m<-1且m≥-2,

　　所以-2≤m<-1.

　　11.寫出下列命題的否定,判斷其真假并給出證明.

　　命題:已知a=(1,2),存在b=(x,1)使a+2b與2a-b平行.

　　【解題指南】先寫出否 定,再判真假,最后給出證明.

　　【解析】命題的否定:已知a=(1,2),則對任意的b=(x,1),a+2b與2a-b都不平行,是一個假命題.

　　證明如下:假設存在b=(x,1)使a+2b與2a-b平行,則a +2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).

　　2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).

　　因為a+2b與2a-b平行,

　　所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).

　　即(2x+1,4)=λ(2-x,3).

　　所以 ⇔2x+1= (2-x).

　　解得x= .

　　這就是說存在b= 使a+2b與2a-b平行,故已知命題為真命題,其否定為假命題.

　　(30分鐘　50分)

　　一、選擇題(每小題4分,共16分)

　　1.(2012•湖北高考)命題“存在一個無理數,它的平方是有理數”的否定是(

　　)

　　A.任意一個有理數,它的平方是有理數

　　B.任意一個無理數,它的平方不是有理數

　　C.存在一個有理數,它的平方是有理數

　　D.存在一個無 理數,它的平方不是有理數

　　【解析】選B.特稱命題的否定是全稱命題,將存在量詞改為全稱量詞,然后再否定結論即可.

　　2.已知命題p:∀n∈N,2n >1000,則 p為(

　　)

　　A.∀n∈N,2n≤1000 B.∀n∈N,2n<1000

　　C.∃n0∈N, ≤1000 D.∃n0∈N, <1000

　　【解析】選C.全稱命題的否定是特稱命題,故 p:∃n0∈N, ≤1000.

　　【舉一反三】若本題中的命題p換為“∃n0∈N, >1000”,其他條件不變,結論又如何呢?

　　【解析】選A.將存在量詞“∃”改為全稱量詞“∀”, 然后否定結論即可, p:

　　∀n∈N,2n≤1000.

　　3.(2014•大連高二檢測)命題p:x=2且y=3,則 p為(

　　)

　　A.x≠2或y≠3 B.x≠2且y≠3

　　C.x=2或y≠3 D.x≠2或y= 3

　　【解題指南】“且”的否定為“或”,然后否定結論即可.

　　【解析】選A.將“且”改為“或”,將x=2與y=3都否定即為原命題的否定, p為:x≠2或y≠3.

　　4.下列關于命題p:“∃x0∈R, =sinx0”的敘述正確的是(

　　)

　　A. p:∃x0∈R, ≠sinx0

　　B. p:∀x∈R, =sinx

　　C.p是真命題, p是假命題

　　D.p是假命題, p是真命題

　　【解析】選C.命題p:“∃x0∈R, =sinx0”的否定是 p:∀x∈R, ≠sinx.

　　當x=0時, =sinx,所以p是真命題, p是假命題.

　　二、填空題(每小題5分,共10分)

　　5.命題“對任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是

　　

　　　.

　　【解析】根據全稱命題的否定形式寫.

　　答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3

　　6.(2014•蘭州高二檢測)已知命題p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”,若命題“p且q”是真命題,則實數a的取值范圍是　_______.

　　【解析】命題p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”為真,則a≤x2,x∈[1,2]恒成立,所以a≤1;

　　命題q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”為真,則“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.

　　若命題“p且q”是真命題,則實數a的取值范圍是{a|a≤-2或a=1}.

　　答案:{a|a≤-2或a=1}

　　【變式訓練】已知命題p:∃x0∈R, +2ax0+a=0.若命題p是假命題,則實數a的取值范圍是

　　

　　.

　　【解析】方法一:若命題p:∃x0∈R, +2ax0+a=0是真命題,則Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.

　　因為命題p是假命題,所以a(a-1)<0,解得0

　　方 法二:依題意,命題 p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命題,則Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0

　　答案:(0,1)

　　三、解答題(每小題12分,共24分)

　　7.寫出下列命題的否定,并判斷其真假.

　　(1)p:不論m取何實數,方程x2+x-m=0必有實數根.

　　(2)q:存在一個實數x,使得x2+x+1≤0.

　　(3)r:等圓的面積相等,周長相等.

　　(4)s:對任意角α,都有sin2α+cos2α=1.

　　【解析】(1)這一命題可以表述為p:“對所有的實數m,方程x2+x-m=0有實數根”,其否定形式是 p:“存在實數m0,使得x2+x-m0=0沒有實數根”.

　　注意到當Δ=1+4m0<0時,即m0<- 時,一元二次方程沒有實數根,所以 p是真命題.

　　(2)這一命題的否定形式是 q :“對所有實數x,都有x2+x+1>0”;利用配方法可以證得 q是一個真命題.

　　(3)這一命題的否定形式是 r:“存在一對等圓,其面積不相等或周長不相等”,由平面幾何知識知 r是一個假命題.

　　(4)這一命題的否定形式是 s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α0≠1”.由于命題s是真命題,所以 s是假命題.

　　8.(2014•汕頭高二檢測)設p:“∃x0∈R, -ax0+1=0”,q:“函數y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)上的值域為[1,+∞)”,若“p∨q”是假命題,求實數a的取值范圍.

　　【解析】由 -ax0+1=0有實根,

　　得 Δ=a2-4≥0⇒a≥2或a≤-2.

　　因此命題p為真命題的范圍是a≥2或a≤-2.

　　由函數y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)的值域為[1,+∞),得a≥0.

　　因此命題q為真命題的范圍是a≥0.

　　根據p∨q為假命題知:p,q均是假命題,p為假命題對應的范圍是-2

　　這樣得到二者均為假命題的范圍就是 ⇒-2