這是直角三角形，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

直角三角形第 1 篇

　　1．知識結構：

　　2．重點和難點分析

　　重點和難點：要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題.

　　3．教法建議

　　本節知識與實際聯系密切，這些知識可以直接用來解決一些實際問題，這在幾何的許多章節中是做不到的，所以要充分發揮這一特點，通過教學，培養學生應用數學的意識，解決實際問題的能力．要解決實際問題，首先要能夠把實際問題抽象為數學問題，然后運用數學知識解決這些問題，為了使學生能夠處理一些簡單問題，教材中配備一些比較典型的例題，這些例題的教學，要注意以下幾個問題：

　　1．幫助學生弄清實際問題的意義．由于學生接觸實際較少，實踐經驗不足，許多實際問題的意義不清楚，許多術語不熟悉，這些在教學中要向學生說明．例如測量中的仰角、俯角、視線、鉛垂線等等，零件圖，特別是剖面圖的意義，航行中的方位角等．學生懂得了這些常識，才能理解實際問題．

　　2．幫助學生畫出草圖．把實際問題抽象為幾何問題，關鍵是畫出草圖，通過圖形反映問題中的已知與未知，以及已知和未知量之間的關系．這里要解決好兩個問題：

　　(1)實際問題基本上是空間三維的問題，要會把它轉化為平面問題，畫出平面圖形．例如飛機在空中俯看地面目標，選取經過飛機、地面目標的垂直于地平面的.平面(圖1)；機器零件大都畫出橫斷面、縱斷面(圖2)；在地面上測兩點距離，兩個方向夾角，可以畫平行地面的平面等．

　　(2)船在海上航行，在平面上標出船的位置、燈塔或岸上某目標的位置，這類問題難點在于確定基準點．例如，說燈塔在船的什么方向上，這時船是基準點，如果說船在岸邊某一點的什么方向上，這時岸邊的這一點是基準點．有時因為船在航行中觀測燈塔，基準點在轉移，這些都會給畫圖增加困難．

　　在第一冊里，介紹過空間里的平行、垂直關系，也介紹過方向角的概念，這些都可以作為學習的基礎，教學時可適當復習，幫助學生回憶．

　　3．幫助學生根據需要作出輔助線．畫出的草圖，不一定有直角三角形，為了用解直角三角形的方法解決這些問題，常常需要添加輔助線．在這些問題中，輔助線常常是垂線或者平行線，例如圖3中的幾個問題中，虛線就是所要添加的輔助線．

　　4．有了直角三角形，還要進一步分析，由題目的條件可以知道直角三角形的哪些邊或角，題目要求的是哪些邊或角，這樣才可以用解直角三角形的方法解決這些實際問題．

　　一、教學目標

　　1．使學生了解仰角、俯角的概念，能根據直角三角形的知識解決實際問題，會把實際問題轉化為數學問題來解決；

　　2．通過本節的教學，進一步把形和數結合起來，提高學生分析問題、解決實際問題的能力；

　　3．通過本節的教學，向學生滲透數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養他們用數學的意識.

　　二、重點·難點·疑點及解決辦法

　　1． 重點：要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題.

　　2．難點：要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題.

　　3．疑點：練習中水位為＋2.63這一條件學生可能不理解，教師最好用實際教具加以說明.

　　4．解決辦法：引導學生體會實際問題中的概念，建立數學模型，從而重難點，以教具演示解決疑點.

　　三、教學過程

　　1．仰角、俯角

　　當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在

　　水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．

　　教學時，可以讓學生仰視燈或俯視桌面以體會仰角與俯角的意義．

　　2．例1

　　如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度米，從飛機上看地平面控制點B的俯角，求飛機A到控制點B距離（精確到1米）．

　　解決此問題的關鍵是在于把它轉化為數學問題，利用解直角三角報知識來解決，在此之

　　前，學生曾經接觸到通過把實際問題轉化為數學問題后，用數學方法來解決問題的方法，但

　　不太熟練．因此，解決此題的關鍵是轉化實際問題為數學問題，轉化過程中著重語學生畫幾

　　何圖形，并說出題目中每句話對應圖中哪個角或邊（包括已知什么和求什么），會利用平行線的內錯角相等的性質由已知的俯角得出中的，進而利用解直角三角形的知識就可以解此題了．

　　解：在中,

　　∴（米）．

　　答：飛機A到控制點B的距離約為4221米．

　?。劾?］小結：本章引言中的例子和例1正好屬于應用同一關系式

　　來解決的兩個實際問題即已知和斜邊，求的對邊；以及已知和對邊，求斜邊．

　　3．鞏固練習 P．25．

　　如圖，某海島上的觀察所A發現海上某船只B并測得其俯角．已知觀察所A的標高（當水位為0m時的高度）為43．74m，當時水位為＋2．63m，求觀察所A到船只B的水平距離BC（精確到1m）

　　為了鞏固例1，加深學生對仰角、俯角的了解，配備了練習．

　　由于學生只接觸了一道實際應用題，對其還不熟悉，不會將其轉化

　　為數學問題，因此教師在學生充分地思考后，應引導學生分析：

　　1．誰能將實物圖形抽象為幾何圖形？請一名同學上黑板畫出來．

　　2．請學生結合圖說出已知條件和所求各是什么？

　　答：已知，求AB．

　　這樣，學生運用已有的解直角三角形的知識完全可以解答．

　　對于程度較高的學生，教師還可以將此題變式，當船繼續行駛到D時，測得俯角，當時水位為－1.15m，求觀察所A到船只B的水平距離（精確到1m），請學生獨立完成.

　　【例2】 如圖所示，已知A、B兩點間的距離是160米，從A點看B點的仰角是11°，AC長為1.5米，求BD的高及水平距離CD.

　　此題在例1的基礎上，又加深了一步，須由A作一條平等于CD的直線交BD于E，構造出，然后進一步求出AE、BE，進而求出BD與CD.

　　設置此題，既使成績較好的學生有足夠的訓練，同時對較差學生又是鞏固，達到分層次教學的目的.

　　解：過A作，于是，

　　在中，

　　∴（米）.

　　.

　　∴（米）.

　　∴（米）.

　　（米）.

　　答：BD的高及水平距離CD分別是32.03米，157.1米.

　　練習：為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角，已知人的高度為1.72米，求樹高（精確到0.01米）.

　　要求學生根據題意能畫圖，把實際問題轉化為數學問題，利用解直角三角形的知識來解決它.

　　探究活動

　　一、望海島

　　如圖, 要測量海島高度,立兩根高度都是3丈的桿,兩桿相距1000步,使前桿、后桿、海島排成一直線，數學教案－解直角三形應用舉例，初中數學教案《數學教案－解直角三形應用舉例》。從前桿往回走123步，腳、前桿頂、島頂共線。從后桿往回走127步，腳、后桿、島頂共線。問島高和島離前桿分別為多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

　　答案: 4里55步;102里150步.

直角三角形第 2 篇

①把準備好的卡片隨機地發給學生、學生按卡片的種類被分成A、B兩組、要求拿A類卡片的學生a說出自己卡片上的內容、然后尋找拿B類卡片的與自己的命題相反的同學b。b要自己主動站起來、并說出自己卡片上的命題是什么、由學生a來判斷他(她)和自己是否在一組。(注意：A、B類卡片上的內容要出現適量的不能構成互逆命題、互逆定理的例子、但不能太多。這樣既有利于學生分析、辨別互逆命題、互逆定理、又有利于他們從正例中歸納、總結出互逆命題、互逆定理的內涵)。

②對學生的表現予以表揚、肯定和鼓勵。然后提問拿B卡片的找到組的學生：你是如何判斷和誰在一組的

③提取學生回答中的合理性成分、總結歸納、然后提問拿A類卡片的學生：你是如何判斷b是否和你在同一組

④肯定學生的認識、提問拿B類卡片的但沒找到組的學生：為什么他們的命題和A類同學的命題不能互相構成反面

⑤肯定所有學生的發言和參與、然后讓學生試著自己歸納總結概括出什么是互逆命題、互逆定理。

⑥肯定學生的回答、并在此基礎上進一步升華、給出嚴謹的表述。

⑦結合剛剛講過的勾股定理及其逆定理、應用互逆命題、互逆定理的含義進行分析、加深學生對這一方面的認識。

⑧結合游戲中的命題向學生說明：一個命題是真命題、它的逆命題不一定是真命題。讓學生體會命題變換的辯證關系。

⑨讓學生回憶自己曾學到的互逆命題和互逆定理、說出教師難備的一些命題的逆命題并判斷真假。

　　4、關于互逆命題和互逆定理。

　　（1）在兩個命題中、如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件、那么這兩個命題稱為互逆命題、其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。

　　（2）一個命題是真命題、它的逆命題卻不一定是真命題。如果一個定理的逆命題經過證明是真命題、那么它也是一個定理、這兩個定理稱為互逆定理、其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。

　?。ㄒ龑W生理解掌握互逆命題的定義。）

　　(二)

　　提問

　　1、判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？

　　2、有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角呢？請證明你的結論。

　　探究

　　啟發學生進一步思考、對于直角三角形這樣的一類特殊三角形、全等三角形判定四個定理是否可以簡化一些？還有沒有其他的判定方法

　　思考剛才給出的條件是否可以減少、回答：對于SSS、根據勾股定理、只要有兩條直角邊或一條直角邊和一條斜邊對應相等就可以了……類似地考慮其他情況。

　　在這時適時地提出曾經被拋棄的一條假名題：兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等在現在成立嗎？

　　結合直角三角形的特點、想到：如果這個角是直角、那么命題就是真命題。

　　讓學生自己寫出條件并給出證明。讓先寫完的學生到黑板上板演。

　　講解學生的板演、借此進一步規范學生的書寫和表達。分析命題的條件、既然其中一邊和它所對的直角對應相等、那么可以把這兩個因素總結為直角三角形的斜邊對應相等、于是直角三角形有自己的全等判定定理：斜邊和一條直角邊對應相等的直角三角形全等、可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示。

　　5、練習：

　　寫出命題“如果有兩個有理數相等、那么它們的平方相等”的逆命題、并判斷是否是真命題。

　　試著舉出一些其它的例子。

　　隨堂練習 1

　　判斷命題的真假、并說明理由：

　　銳角對應相等的兩個直角三角形全等。假命題

　　斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等。真命題

　　兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。真命題

　　一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等。真命題

　　6、課堂小結：本節課你都掌握了哪些內容？

直角三角形第 3 篇

溫故知新

一個直角三角形房梁如圖所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分別是B1、C1，那么BC的長是多少? B1C1呢?

解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm， ∴BC=0.5AB=5 cm． ∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90° A 又∵∠A+∠B=90° ∴∠BCBl=∠A=30° 在Rt△ACBl中，BBl=0.5BC=2．5 cm． ∴AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm． ∴在Rt△ABlC中，∠A=30° ∴B1C1=0.5ABl=3．75cm．

B1 B

C1

C

1.了解了勾股定理及逆定理的證明方法; 2.了解了逆命題的概念，會識別兩個互逆命題， 知道原命題成立，其逆命題不一定成立;

3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理 都有逆定理.

溫故知新

一般的直角三角形的三邊具有什么樣的性質呢?

你會證明嗎?

你會利用公理及由其推導出的定理證明嗎?

勾股定理

在直角三角形中,兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方.

數方格和割補圖形的方法

證明方法:

在 直角三角形中, 兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的 平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形” 的結論．你能證明此結論嗎?

已知：如圖，在△ABC中， AB 求證：△ABC是直角三角形．

2

? AC ? BC

2

2

A

證明：作Rt△DEF，使∠D=90°， DE=AB， DF=AC(如圖)， 則 DE 2 ? DF 2 ? EF 2 .(勾股定理)． B ∵ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 , DE=AB，DF=AC ∴ BC 2 ? EF 2 ∴BC= EF ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A=∠D=90°(全等三角形的對應角相等)． 因此，△ABC是直角三角形． E

C

D

F

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么

這個三角形是直角三角形．

勾股定理

在直角三角形中,兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方.

逆定理 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平 方，那么這個三角形是直角三角形．

觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系? 在前面的學習中還有類似的命題嗎?

勾股定理的條件是第二個定理的結論，結論是第二個定理的條件．

觀察下面三組命題：

?如果兩個角是對頂角, 那么它們相等; ? ?如果兩個角相等, 那么它們是對頂角. ?如果小明患了肺炎, 那么他一定發燒; ? ?如果小明發燒, 那么他一定患了肺炎. ?三角形中相等的邊所對的角相等; ? ?三角形中相等的角所對的邊相等.

上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎? 與同伴交流．

在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別 是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互 逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相 對于逆命題來說，另一個就為原命題．

原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題!!

如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那 么它也是一個定理，那么我們稱它們為互逆定 理.其中一個定理稱為另一個定理的逆定理．

舉例說出我們已學過的互逆定理.

1.兩直線平行，內錯角相等. 與 內錯角相等，兩直線平行.

2.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的 直角邊就等于斜邊的一半 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么 這條直角邊所對的銳角等于30°

說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假:

(1)四邊形是多邊形； (2)兩直線平行，同旁內角互補； (3)如果ab=0，那么a=0 ，b=0

解： (1)多邊形是四邊形．原命題是真命題，而逆命題是假 命題． (2)同旁內角互補，兩直線平行．原命題與逆命題同為 真命題． (3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命題是假命題，而逆 命題是真命題．

1.了解了勾股定理及逆定理的證明方法; 2.了解了逆命題的概念，會識別兩個互逆命題， 知道原命題成立，其逆命題不一定成立;

3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理 都有逆定理.

新人教版就年級數學下冊解直角三角形同步試題

部分預覽 考查目的：從多個直角三角形中抽象出有用的直角三角形，選擇適當的條件解直角三角形．

答案：．

解析：在rt△acd中解直角三角形求出ad的長，從而求出bd的長；在rt△bcd中由勾股定理求出bc的長；最后求出．

8．如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道，為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖地點 在山這一側的公路 （看成一條直線段）的延長線上，設想過點 作直線 的垂線 ，過點 作一直線（在山的旁邊經過），與 相交于點 ，經過測量，，，求在直線 上距離 點多遠的 處開挖（，精確到1 m）

直角三角形第 4 篇

教學建議

1．識結構：

本小節主要學習的概念，直角三角形中除直角外的五個元素之間的關系以及直角三角形的解法。

2．點和難點分析：

教學重點和難點：直角三角形的解法。

本節的重點和難點是直角三角形的解法。為了使學生熟練掌握直角三角形的解法，首先要使學生知道什么叫做，直角三角形中三邊之間的關系，兩銳角之間的關系，邊角之間的關系。正確選用這些關系，是正確、迅速地的關鍵。

3。 深刻認識銳角三角函數的定義，理解三角函數的表達式向方程的轉化。

銳角三角函數的定義：

實際上分別給了三個量的關系：a、b、c是邊的長、、和是由用不同方式來決定的三角函數值，它們都是實數，但它與代數式的不同點在于三角函數的值是有一個銳角的數值參與其中。

當這三個實數中有兩個是已知數時，它就轉化為一個一元方程，解這個方程，就求出了一個直角三角形的未知的元素。

如：已知直角三角形ABC中，，求BC邊的長。

畫出圖形，可知邊AC，BC和三個元素的關系是正切函數（或余切函數）的定義給出的，所以有等式

，

由于，它實際上已經轉化了以BC為未知數的代數方程，解這個方程，得

。

即得BC的長為。

又如，已知直角三角形斜邊的長為35。42cm，一條直角邊的長29。17cm，求另一條邊所對的銳角的大小。

畫出圖形，可設中，，于是，求的大小時，涉及的三個元素的關系是

也就是

這時，就把以為未知數的代數方程轉化為了以為未知數的方程，經查三角函數表，得

由此看來，表達三角函數的定義的4個等式，可以轉化為求邊長的方程，也可以轉化為求角的方程，所以成為解三角形的重要工具。

4。 直角三角形的解法可以歸納為以下4種，列表如下：

5。 注意非直角三角形問題向直角三角形問題的轉化

由上述

（3）可以看到，只要已知條件適當，所有的直角三角形都是可解的。值得注意的是，它不僅使直角三角形的計算問題得到徹底的解決，而且給非直角三角形圖形問題的解決鋪平了道路。不難想到，只要能把非直角三角形的圖形問題轉化為直角三角形問題，就可以通過而獲得解決。請看下例。

例如，在銳角三角形ABC中，，求這個三角形的未知的邊和未知的角（如圖）

這是一個銳角三角形的解法的問題，我們只需作出BC邊上的高（想一想：作其它邊上的高為什么不好。），問題就轉化為兩個的問題。

在Rt中，有兩個獨立的條件，具備求解的條件，而在Rt中，只有已知條件，暫時不具備求解的條件，但高AD可由解時求出，那時，它也將轉化為可解的直角三角形，問題就迎刃而解了。解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的圖形向直角三角形轉化的途徑和方法是十分重要的，如

（1）作高線可以把銳角三角形或鈍角三角形轉化為兩個直角三角形。

（2）作高線可以把平行四邊形、梯形轉化為含直角三角形的圖形。

（3）連結對角線，可以把矩形、菱形和正方形轉化為含直角三角形的圖形。

（4）如圖，等腰三角形AOB是正n邊形的n分之一。作它的底邊上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半徑，OM是邊心距，AB是邊長的一半，銳角。

6。 要善于把某些實際問題轉化為問題。

很多實際問題都可以歸結為圖形的計算問題，而圖形計算問題又可以歸結為問題。

我們知道，機器上用的螺絲釘問題可以看作計算問題，而圓柱的側面可以看作是長方形圍成的（如圖）。螺紋是以一定的角度旋轉上升，使得螺絲旋轉時向前推進，問直徑是6mm的螺絲釘，若每轉一圈向前推進1。25mm，螺紋的初始角應是多少度多少分？

據題意，螺紋轉一周時，把側面展開可以看作一個直角三角形，直角邊AC的長為

另一條直角邊為螺釘推進的距離，所以

設螺紋初始角為，則在Rt中，有

∴。

即，螺紋的初始角約為 。

這個例子說明，生產和生活中有很多實際問題都可以抽象為一個問題，我們應當注意培養這種把數學知識應用于實際生活的意識和能力。