這是高中數學復數的三角表示，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

高中數學復數的三角表示第 1 篇

這要歸功于歐拉公式：

歐拉公式

當theta = pi時，歐拉公式演變為-1 + 0 = e^{ipi}即e^{ipi}+1=0，被評為“最美數學公式”。

當theta = 2pi時，歐拉公式演變為1 + 0 = e^{2ipi}即(e^{ipi})^2=1。

當theta = frac{pi}{2}時，演變為i = e^{i frac{pi}{2}};

復數的表示

復數的二維解析表達式是z = x + text{i}y，其中x是實部，y是虛部。

如果使用極坐標，模為r幅角為theta的復數可以表示為z=r(cos theta + text{i} sin theta)。

在復平面中繪制單位圓，原點到圓周上的點長度都是1，構成的向量是“單位向量”。圓周上的點對應的復數都叫“單位復數”。

當復數模為1時（即x^2+y^2=1），z=cos theta + text{i} sin theta，就是歐拉公式的一邊。

代入歐拉公式，z=r(cos theta + text{i} sin theta) = r e^{itheta}。

我們重新表達一下離散傅里葉變換DFT入門中x^8=1的8個單位復根

高中數學復數的三角表示第 2 篇

知識點：

一、三角運算：

復數除法

復數乘法

其實，這個結論也不難驗證，用代數形式化簡就可以的。

但是，這個結論的意義又是不一般的，它同時使得向量有了伸縮和旋轉兩種變換。

而且，由它可以很容易的得出復數的乘方運算和模的性質。

當然，復數的加減運算，按照三角形或平行四邊形法則，可是不具備如此好的性質的。

但它和向量一樣，也有下面這個不等關系：

視頻教學：

練習：

一、選擇題

1．復數z1＝1，z2由z1繞原點O逆時針方向旋轉π6而得到，則arg(z2z1)的值為(

　　)

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

2．復數－12＋3)2i的三角形式是(

　　)

A．cos 60°＋isin 60° B．－cos 60°＋isin 60°

C．cos 120°＋isin 60° D．cos 120°＋isin 120°

3．設A，B，C是△ABC的內角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一個實數，則△ABC是(

　　)

A．銳角三角形 B．鈍角三角形

C．直角三角形 D．形狀不能確定

4．復數cos π3＋isin π3經過n次乘方后，所得的復數等于它的共軛復數，則n的值等于(

　　)

A．3 B．12

C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)

5．復數z＝cosπ15＋isinπ15是方程x5＋α＝0的一個根，那么α的值為(

　　)

A.3)2＋12i B.12＋3)2i

C．－3)2－12i D．－12－3)2i

6．(探究題)若復數as4alco1((1＋i1－i))n為實數，則正整數n的最小值是(

　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空題

7．設z＝1＋i，則復數z2－3z＋6z＋1的三角形式是________．

8．復數2＋2i的輻角主值為________，化為三角形式為________．

9．設(1＋i)z＝i，則復數z的三角形式為________．

課件：

教案：

教學課時：共2課時（第1課時）

教學目標：

1、能借助復數的幾何意義認識復數的三角形式，知道復數可以用三角形式來表示且可以與代數形式互化，正確識別復數的三角形式中模、輻角等相關概念．

2、結合知識學習進一步體會數形結合思想的應用，培養學生直觀想象、邏輯推理、數學建模核心素養；能熟練求出簡單代數形式的復數的三角形式．

3、體會事物聯系的普遍性，形式與內容相統一的辯證唯物主義觀點．

教學重點：將復數的代數形式化為三角形式的意義與轉化的方法步驟．

教學難點：將復數的代數形式化為三角形式的意義．

教學過程：

一、情境與問題

問題1：

設復數

在復平面內對應的點為Z，你能不能寫出點Z的坐標，并在復平面內描出點Z的位置，做出向量

？

問題2：

記r為向量

的模，

是以x軸正半軸為始邊，射線OZ為終邊的一個角，請求出r的值，并寫出

的任意一個值．

問題3：

小組討論r、

與

的實部與虛部之間的關系．每個小組把討論得出的結論寫出來．請出幾個小組的代表發言．

【學生活動】：

1、閱讀教材43頁嘗試與發現．

2、回答文章中提出的問題．

3、小組討論并把討論得出的結論寫出來．

【設計意圖】：

引導學生自主思考復數的r、

與復數的實部、虛部之間的聯系．建立引入復數的三角形式的學習情境．

二、新知探究

問題1：

是不是任意的復數的實部、虛部與復數的r、

與之間都存在類似的關系？我們能不能利用r、

表示復數？

【學生活動】學生動手推導復數的實部、虛部與復數的r、

與之間的關系．

【設計意圖】通過學生自己動手推導，得到復數的實部、虛部與復數的r、

與之間的關系，將

推廣到z=a+bi．

問題2：

復數三角形式的定義是什么？

【學生活動】

嘗試總結復數三角形式的定義．

【設計意圖】引導學生自己總結復數三角形式的定義，調動學生學習的積極性，能幫助學生加深對復數三角形式的理解．

復數 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫復數z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中

，θ為復數z的輻角．

問題3：

輻角是唯一的嗎？如果不唯一，它們之間有什么關系？

以Ox軸正半軸為始邊，向量

所在的射線為終邊的角θ叫復數z=a+bi的輻角．任意非零復數的輻角都有無窮多個，任意兩個輻角之間相差2

的整數倍．[0，2

）內的輻角稱為輻角主值，記作arg z．z=0時，其輻角是任意的．

【學生活動】思考并討論．

【設計意圖】引導學生對輻角的概念進一步思考，討論得出正確答案．并培養思維的嚴謹性．

問題4：復數的三角形式與代數形式怎么互化？

【學生活動】學生思考并總結．

【設計意圖】明確三角形式與代數形式之間的互化．

三、例題示范

例1（教材44頁例1）

考查意圖：考查對復數三角形式的理解，數學運算能力，化歸思想．

思路分析：求出復數的模，找出復數的一個輻角（比如輻角主值）即可．

解：（1）

；

（2）

；

（3）

．

解法評析：化成三角形式的關鍵是找到復數的模和其中一個輻角，通常是輻角主值．

例2：（教材48頁習題10-3A第一題）

把下列復數化為代數形式．

考查意圖：考查對復數三角形式與代數形式的關系的理解．例1是代數形式化成三角形式，補充一道題，三角形式化成代數形式．

思路分析：打開括號，直接整理即可．

解：

解法評析：復數的三角形式與代數形式的互化中，三角形式化代數形式比較容易．通過互化過程掌握兩種形式之間的聯系．

四、知能訓練

1、教材48頁習題10-3A第2題、第6題

考查意圖：復數的輻角

2、教材48頁習題10-3A第3題、第4題，49頁習題10-3B第2題

考查意圖：復數的三角形式與代數形式的互化．

五、歸納總結

1、知識內容及研究方法方面：復數的三角形式．

2、數學思想方法、核心素養及應用方法策略方面：數形結合；數學運算、直觀想象、邏輯推理、數據分析．

3、應注意的問題：復數由代數形式、幾何形式、三角形式，學習中應注意三種形式之間的區別與聯系．

4、學生活動方式說明：本節學習內容為選學內容，故學生可通過自我閱讀的方式來完成本節的學習．

5、作業建議：

48頁習題10-3A第2題、第3題、第4題第6題，

49頁習題10-3B第2題

高中數學復數的三角表示第 3 篇

　　一、內容和內容解析

　　1.內容

　　復數的三角表示式，復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　本單元的知識結構：

　　本單元建議用2課時：第一課時，復數的三角表示式；第二課時，復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　2. 內容解析

　　復數的三角表示是復數的一種重要表示形式，復數的三角表示式、復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義，是復數代數形式及其乘除運算等知識的延續和深化.復數的三角表示溝通了復數與平面向量、三角函數等知識的聯系，為解決平面向量、三角函數和平面幾何問題提供了一種重要途徑，同時為學生今后在大學期間進一步學習復數的指數形式、復變函數論、解析數論等高等數學知識奠定基礎，可見本單元的內容在高中數學乃至大學數學課程中起著承前啟后的作用.

　　復數的三角表示，實際上是用有序數對（r,）來確定一個復數z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.復數的三角形式與代數形式有著緊密聯系，可以借助三角函數的知識，將三角形式和代數形式進行互化；基于復數的三角表示，按照復數的乘法運算法則，并利用三角恒等變換知識，就能推導得出復數乘法運算的三角表示，因此復數的三角表示是本單元的基礎.由復數乘法運算的三角表示可以推導出復數除法運算的三角表示.復數乘、除運算的三角表示不僅形式簡潔，給復數的乘、除運算帶來了便利，而且它們的幾何意義明顯，實際上，復數乘、除運算三角表示的幾何意義就是平面向量的旋轉和伸縮.借助復數乘、除運算三角表示的幾何意義，可以將一些復數、三角和平面幾何問題轉化為向量問題去解決. 因此，復數乘、除運算的三角表示式及其幾何意義在本單元中具有重要地位.

　　本單元內容突出了復數的三角表示和乘、除運算的幾何意義，體現了形與數的融合，如復數的三角表示是從向量出發，借助數形結合，利用三角函數知識推導得出的；復數的乘、除運算可以借助三角表示的幾何意義轉化為向量的旋轉和伸縮變換；等.此外，本單元的知識也蘊含了化歸與轉化的數學思想，如復數的三角形式和代數形式可以互相轉化，復數除法運算的三角表示可以轉化為復數乘法運算的三角表示，某些復數問題可以轉化為平面向量問題去解決，某些平面向量問題也可以轉化成復數問題去解決等.再有，本單元在研究過程中也運用了類比的研究方法，如三角表示的兩個復數相等的充要條件是類比代數形式兩個復數相等的充要條件得到的，復數除法三角表示的幾何意義是類比復數乘法三角表示的幾何意義得到的，等.運用好本單元的相關知識素材，讓學生體會這些數學思想和方法，有助于提升他們的直觀想象和邏輯推理素養.

　　基于以上分析，確定本單元的教學重點：復數的三角表示式，復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義，以及這些內容所體現的數形結合、化歸與轉化、類比等數學思想方法.

　　二、目標和目標解析

　　1. 目標

　　（1）了解復數三角表示式的推導過程，了解復數的三角表示式.

　　（2）了解復數的代數表示與三角表示之間的關系，會進行復數三角形式和代數形式之間的互化，了解兩個用三角形式表示的復數相等的條件.

　　（3）了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（4）在知識的探究和發現中，感受數形結合、化歸與轉化、類比等數學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.

　　2. 目標解析

　　

　　達成目標（2）的標志是：學生能根據運算的需要，將復數的三角形式和代數形式進行互化；能夠類比復數代數形式表示的兩個復數相等的充要條件得出三角形式表示的兩個復數相等的充要條件，并會判斷兩個用三角形式表示的復數是否相等.

　　達成目標（3）的標志是：學生能根據復數的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式推導出復數乘法運算的三角表示式，并能用文字語言闡述其含義；能根據復數乘法運算的三角表示，得出復數乘法的幾何意義；會類比復數乘法運算的三角表示及其幾何意義得出復數除法運算的三角表示及其幾何意義；會依據復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義進行相關的計算，能解決簡單的復數、三角和平面向量問題.

　　達成目標（4）的標志是：在教師的引導下，學生能夠運用數形結合的思想，探究復數三角表示式和復數乘、除運算幾何意義；在復數除法運算三角表示的推導過程中，能體會化歸與轉化的思想；能夠運用類比的方法，探究兩個三角表示的復數相等的充要條件，探究復數除法運算三角表示的幾何意義；在復數三角形式和代數形式的互化過程中，能感受事物之間在一定條件下可以互相轉化的辯證唯物主義觀點.

　　三、教學問題診斷分析

　　在知識儲備上，學生已經經歷了數系擴充的過程，學習了復數的概念及其幾何意義，知道復數a+bi和平面上的點z(a,b)以及向量的一一對應關系；掌握了復數乘、除運算的運算法則，為本單元學習復數的三角表示奠定了基礎.但從復數的幾何意義出發探究得出復數的三角表示式，從思維角度看學生還缺乏經驗；并且復數的三角表示式與復數的向量表示、三角函數有很強的關聯性，其形式也比較復雜，而且有些學生會錯誤地認為，只要復數的表達式中含有正弦和余弦函數就是復數的三角表示式.因此，探究和理解復數的三角表示式有一定難度.

　　在能力基礎上，學生通過高一上學期的學習，對高中數學學習中常用的基本數學思想方法已經有所了解，有運用數形結合、化歸與轉化等數學思想方法解決數學問題的意識，也知道類比是研究數學問題的一種常用的方法，但在實際應用中，學生運用起來還不夠熟練，而且往往很難針對具體問題的特點選擇合適的數學思想方法解決問題，所以在運用類比的方法探究三角形式表示的兩個復數相等的充要條件，利用數形結合、類比等方法探究復數乘、除運算幾何意義的過程中，學生可能會遇到障礙.

　　在學習態度上，由于高考不涉及本單元的內容，所以學生在重視程度上可能不夠，需要教師設置比較好的問題情境，并指出學習本節內容的重要意義和價值，從而激發學生的學習興趣和學習主動性.

　　綜上所述，本單元的教學難點為：

　　（1）探究、理解復數的三角表示式；

　　（2）對復數乘、除運算三角表示幾何意義的理解.

　　對于難點（1），在講解本單元的第一課時前，可提前布置一些預習作業，讓學生為新課的學習做好知識準備，或者在課上先復習平面向量和復數的幾何意義等相關知識，再進行新課的學習和探究，探究時要充分注意復數與平面向量和三角函數的聯系性，這是突破難點的一個重要舉措；探究出復數的三角表示式后，讓學生明晰復數三角表示式的基本結構特征，這樣有助于學生理解復數的三角表示式.

　　

　　四、教學支持條件分析

　　利用幾何畫板、GeoGebra等信息技術工具有助于幫助學生探究并理解輻角.例如，可以使用信息技術工具畫出平面向量表示的復數z=a+bi，讓學生通過觀察、比較，初步確定可以用以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角刻畫平面向量的方向；然后改變復數對應的平面向量的位置（在不同象限或在實軸、虛軸上），進行動態演示，感受選擇來刻畫平面向量方向的一般性和合理性. 也可以通過上述圖形，讓學生直觀感受復數a+bi與平面向量的對應關系，體會輻角的多值性和輻角主值的唯一性.

　　在復數乘、除運算的三角表示幾何意義的教學中，也可使用幾何畫板、GeoGebra等信息技術工具，使學生感受兩個復數相乘（或相除）時，模和輻角的變化情況，從而加深學生對幾何意義的理解.

　　五、教學過程設計

　　第一課時

　　7.3.1 復數的三角表示式

　　（一）課時教學內容

　　復數的三角表示式

　　（二）課時教學目標

　　1. 了解復數三角表示式的推導過程，了解復數的三角表示式.

　　2. 了解復數的代數表示與三角表示之間的關系，會進行復數三角形式和代數形式之間的互化，了解兩個用三角形式表示的復數相等的條件.

　　（三）教學重點與難點

　　教學重點：復數的三角表示式

　　教學難點：復數的三角表示式

　　（四）教學過程設計

　　引言：前面我們已經學習了復數及其四則運算，本節我們來研究復數的另一種重要表示——復數的三角表示.復數的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?讓我們一起來探究吧.

　　1. 溫故知新，奠定基礎

　　問題1 前面我們學習了復數的概念、復數的幾何意義，請同學們回憶一下它們分別是什么.

　　師生活動：學生思考、回答，指出z=a+bi(a，b∈R)稱為復數，以及復數的兩種幾何意義：復數z=a+bi與復平面內的點Z（a，b）一一對應；復數z=a+bi與平面向量=(a,b)一一對應.

　　追問1：你能在復平面內用平面向量表示z=a+bi嗎？

　　師生活動：學生回答，教師利用幾何畫板、GeoGebra等信息技術工具或在黑板上畫出復數z=a+bi對應的平面向量.

　　追問2：已知平面向量=(a,b)，能唯一確定與之對應的復數z嗎？復數z的表達式是什么？為什么？

　　師生活動：學生思考并回答，由于復數z=a+bi與平面向量=(a,b)一一對應，所以已知平面向量=(a,b)能唯一確定與之對應的復數，其表達式為z=a+bi.教師總結，復數z可以由向量的坐標(a,b)唯一確定.

　　設計意圖：復數的幾何意義是得出復數三角表示式的基礎.溫故知新，激活學生已有的知識儲備，為本課時從復數的向量表示出發探究復數的三角表示奠定基礎.

　　2. 引導探究，得出概念

　　問題2 我們知道復數z=a+bi可以由向量的坐標(a,b)唯一確定，向量既可以由它的坐標(a,b)唯一確定，也可以由它的大小和方向唯一確定，觀察分析圖1，能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數呢？你認為如何表示？

　　追問1：你認為為了解決問題2，首先應研究什么？

　　師生活動：學生在教師的引導下，觀察圖形、思考討論，發現解決問題2的首要環節是，應定量刻畫向量的大小和方向這兩個要素，并且向量的大小可以用復數的模來表示，向量的方向可以借助角來表示.

　　追問2：如何用文字語言表述角呢？

　　師生活動：學生思考回答，可能給出的表述不很確切. 教師逐漸引導糾正，逐步得出：角是以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角.

　　設計意圖：利用教科書上的探究問題，借助復數的幾何意義，引導學生嘗試定量刻畫向量的大小和方向，為得出復數的三角表示式奠基，這也是得出復數三角表示式的第一個關鍵環節.

　　追問3： 你能用向量的模，以及以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角來表示復數z嗎？

　　師生活動：讓學生分組討論.學生利用復數的向量表示的圖形（圖1），容易得出：

　　

　　設計意圖：要求學生進一步借助圖形，得出模r和角與平面向量的坐標(a,b)的關系，從中感受復數和平面向量的關系以及數形結合的思想. 這是得出復數三角表示式的另一個關鍵環節.

　　追問4： 剛才我們畫的圖形，角的終邊落在第一象限，得到a+bi=r(cos+isin)，這個式子是否具有一般性呢？即：若角的終邊落在第二、三、四象限，這個式子成立嗎？若點z在實軸或虛軸上，即角的終邊落在實軸或虛軸上時，這個式子也成立嗎？

　　師生活動：教師借助幾何畫板、GeoGebra和PPT等軟件，改變平面向量的位置，讓學生觀察分析，得出結論：不管角的終邊落在什么位置，都有a+bi=r().教師指出r()叫做復數z=a+bi的三角表示式，簡稱為三角形式，并板書復數的三角表示式，介紹輻角的概念，說明輻角既可以用弧度表示，也可以用角度表示.最后指出為了與三角形式區分開，把叫a+bi做復數的代數表示式，簡稱代數形式.

　　設計意圖：讓學生分析角的終邊落在各個象限或實軸、虛軸的情況，由具體到抽象，由特殊到一般，歸納出復數的三角表示式，感受數學的嚴謹性，培養抽象概括能力.

　　問題3 一個復數的輻角的值有多少個？

　　師生活動：學生結合圖1，觀察思考回答.利用終邊相同的角的特點，容易得出：任何一個不為零的復數的輻角的值有無限多個.

　　追問1：這些輻角的值之間有什么關系呢？

　　師生活動：學生思考回答，因為任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和，所以這些輻角的值之間相差的整數倍.

　　追問2：若復數為0，它的輻角是哪個角？

　　師生活動：教師引導學生分析，對于復數0，因為它對應著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輻角也是任意的，而不是0.

　　設計意圖：讓學生由平面直角坐標系中終邊相同的角的特點，得出復數輻角的多值性，以及這些值之間相差的整數倍；類比零向量，了解復數為0時輻角的任意性.

　　問題4 在研究問題時，復數輻角的多值性有時會給我們帶來不便，為了使任意一個非0復數有唯一確定的“值”作為其所有輻角值的代表，你認為規定這種“值”在哪個范圍內比較合適？

　　

　　追問：一個非零復數輻角的主值有多少個？

　　師生活動：學生思考回答，一個非零復數的輻角主值有且只有一個.教師總結：每一個非零復數有唯一的模與輻角的主值.

　　設計意圖：給出輻角的主值的概念和取值范圍.讓學生了解規定輻角的主值，保證了其唯一性，從而為一些表述和研究帶來便利.

　　3. 概念辨析，加深理解

　　

　　設計意圖：由學生容易出錯的問題，通過具體事例引出對復數三角表示式的辨析，通過對復數三角表示式結構特點的分析，得出復數三角表示式的結構特征，進而根據結構特征作出判斷.

　　例1 判斷下列復數是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.

　　師生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視并進行個別指導，學生都完成后進行反饋交流，教師幫助更正錯誤，指導學生依據復數三角表示式的結構特征進行反思，并總結：熟練應用三角函數的誘導公式進行恒等變換，是將復數的非三角表示式轉化為三角表示式的一個關鍵環節.

　　設計意圖：辨析復數的三角表示式，幫助學生進一步理解三角表示式的概念，學會將復數的非三角表示式化為三角表示式的方法.

　　4. 概念應用，鞏固新知

　　例2 畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式：

　　師生活動：先由學生思考發言，師生共同總結解題的基本思路，教師板書第1小題，學生書寫第2小題完整的解題步驟.

　　教師總結解題思路：復數的幾何意義是解決此類問題的關鍵，要借助數形結合解決問題.只要確定復數的模和一個輻角，就能將復數的代數形式轉化為三角形式.而利用即可求得模，先借助向量的坐標判斷輻角的終邊所在的象限，再利用cos或sin求輻角.

　　設計意圖：一方面是讓學生進一步體會復數的幾何意義，感受復數和平面向量一一對應的關系；更為重要的是借助與復數對應的點的坐標，判斷角的終邊所在的象限，體會將復數代數形式化為三角形式的基本方法.

　　例3 分別指出下列復數的模和一個輻角，畫出它們對應的向量，并把這些復數表示成代數形式：

　　師生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視并給予個別指導，學生都完成后請學生展示交流. 教師指導學生反思：應注意輻角的值不只一個，寫出的輻角可以是輻角的主值，也可以不是，它們相差的整數倍.

　　設計意圖：例3主要有兩個用意，一是通過幾何直觀，幫助學生進一步認識復數三角形式中r,的含義，進而認識到復數實質上可以由有序實數對(r,)來唯一確定，再次感受復數與平面向量的聯系；二是幫助學生掌握直接利用三角函數公式，將復數的三角形式化為代數形式的方法.

　　問題6 兩個用代數形式表示的非零復數相等的條件是什么？兩個用三角形式表示的非零復數在什么條件下相等呢？

　　師生活動：引導學生利用類比的方法思考、回答.教師可以引導學生按照下面的思路進行探究：兩個復數相等兩個復數對應的向量相同兩個向量的長度相等且方向相同兩個復數的模相等且輻角主值相等.

　　通過推理，順理成章地得出結論.

　　設計意圖：讓學生運用類比的研究方法，得出兩個三角形式的非零復數相等的充要條件，體會推理的嚴謹性.

　　5. 課后作業

　　教科書習題7.3 第1，2題.

　　（五） 目標檢測設計

　　1. 畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式：

　　設計意圖：考查學生將復數的代數形式化為三角形式的能力．

　　2. 下列復數是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.

　　設計意圖：考查學生對復數三角形式的掌握程度．

　　3. 將下列復數表示成代數形式：

　　設計意圖：考查學生將復數的三角形式化為代數形式的能力.

　　第二課時

　　7.3.2 復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義

　　（一）課時教學內容

　　復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（二）課時教學目標

　　1. 了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　2. 在知識的探究和發現中，感受數形結合、化歸與轉化、類比等數學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.

　　（三）教學重點與難點

　　教學重點：復數乘、除運算的三角表示

　　教學難點：復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（四）教學過程設計

　　引言：在7.2節，我們研究了復數代數形式的四則運算，上節課又學習了復數的另一種重要的表示形式——三角形式，很自然地，我們想知道復數的四則運算是否能用三角形式表示？下面我們就一起來研究這個問題.

　　1.知識回顧

　　問題1 我們知道，復數可以進行加、減、乘、除運算，請回憶一下，復數代數形式加法和乘法運算的法則是什么？

　　師生活動：學生回憶后回答：

　　設a，b,c,d∈R，則

　　(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)

　　設計意圖：復數加法、乘法運算的法則是研究復數加法、乘法運算三角表示的出發點，提出這個問題，激活學生已有的認知基礎，為本節課研究復數乘法運算的三角表示進行鋪墊.

　　2.復數乘法運算的三角表示及幾何意義的探究及應用

　　問題2 上節課，我們學習了復數一種新的表示方法——三角形式，那么復數的加法和乘法運算是否能用三角形式來表示呢？

　　師生活動：教師給學生充分的自主活動的時間，學生經過獨立思考和演算后，由學生匯報交流，教師及時補充或糾正錯誤，師生共同完成復數加法和乘法是否能用三角形式表示的探究過程.發現：一般說來復數的加法不便表示成三角形式；復數的乘法能表示成三角形式，其三角表示公式為：

　　教師板書復數乘法的三角表示公式.

　　追問2：復數的減法運算是加法運算的逆運算，復數的減法運算是否能用三角形式來表示？

　　師生活動：教師側重引導學生，將復數的減法運算轉化為加法運算，學生類比探究復數的加法是否能用三角形式表示的過程，容易發現：一般說來，復數的減法不便表示成三角形式.

　　設計意圖：讓學生獨立思考、自主探究，經歷復數乘法的三角表示公式得出的過程，從中進一步體會復數和三角之間的緊密聯系.

　　問題3 你能用文字語言來表述復數乘法的三角表示公式嗎？

　　師生活動：學生回答，教師補充完善.得出：兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.可以簡述為“模相乘，輻角相加”.

　　設計意圖：培養學生的語言表達能力，幫助學生進一步加深對復數乘法運算三角表示公式的理解.

　　問題4 我們知道復數的加、減運算具有幾何意義，那么復數乘法很可能也具有幾何意義.請你利用復數乘法運算的三角表示進行探索、嘗試.

　　師生活動：學生用紙筆畫出草圖，分組討論交流.教師借助幾何畫板、GeoGebra等軟件畫出對應的向量，演示乘法運算的過程，學生歸納得出復數乘法運算三角表示的幾何意義（圖2）.

　　設計意圖：讓學生借助圖形進行分析，探究得出復數乘法三角表示的幾何意義，體會數形結合思想，同時也培養學生的自主學習能力和合作意識.

　　師生活動：學生獨立做題，教師巡視答疑，學生完成后利用多媒體進行交流展示.教師指導學生反思：運用復數乘法的三角表示式進行運算的前提是，給出的復數必須都是三角形式，然后才能利用“模數相乘，輻角相加”的算法進行運算. 教學中應提醒學生：當不要求把計算結果化為復數的代數形式時，也可以直接用三角形式表示結果.

　　設計意圖：讓學生運用復數乘法的三角表示公式進行運算，進一步熟悉算理和復數乘法運算三角表示的幾何意義.

　　設計意圖：讓學生了解利用復數乘法的幾何意義可以解決某些與向量旋轉、伸縮有關的復數運算問題，體會利用復數乘法的幾何意義解決問題的便捷性.

　　3. 復數除法運算的三角表示及幾何意義的探究與應用

　　問題6 除法運算是乘法運算的逆運算.根據復數乘法運算的三角表示，你能得出復數除法運算的三角表示嗎？你能用文字語言加以表述嗎？

　　師生活動：教師引導，學生討論，得出將復數除法運算轉化為乘法運算的方法（配湊法），學生自己推導得出復數除法運算三角表示公式，教師板書公式：

　　用文字語言可表述為：兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差．

　　追問：你還有其他的推導方法嗎？

　　師生活動：教師引導，學生思考回答。也可以通過 “分數”運算直接推導得出：

　　設計意圖：在復數乘法運算三角表示的基礎上，引導學生借助已有知識和運算技巧推導復數除法運算的三角表示，體會化歸與轉化和類比的數學思想，提升數學運算素養.

　　追問：若模伸長或縮短倍呢？

　　師生活動：學生思考回答，教師借助幾何畫板、GeoGebra等軟件演示，幫助學生理解. 教師總結：利用復數乘、除運算的幾何意義，可以把平面向量的旋轉和伸縮問題轉化為復數的乘、除運算問題，反之亦然.

　　設計意圖：讓學生思考復數乘、除運算幾何意義的反向應用，培養逆向思維能力，進一步感受平面向量和復數之間可以互相轉化的關系.

　　4. 課堂練習

　　（1）教科書第89頁練習1（1）（3）.

　　（2）教科書第89頁練習2（1）（2）.

　　5. 單元小結

　　（1）回顧并敘述得出復數三角形式的研究思路和基本過程，并說說研究方法.

　　（2）復數三角表示式的基本結構特點是什么？輻角和輻角的主值的概念和特點是什么？

　　（3）三角形式表示的兩個復數相等的充要條件是什么？它是怎么得出的？

　　（4）復數乘法運算和除法運算的三角表示公式及其幾何意義分別是什么？它們是如何推導出來的，試簡述研究思路和方法.

　　（5）簡述復數的代數形式和三角形式的區別與聯系，它們在運算上各有什么優勢？分別適合哪些運算？

　　師生活動：教師提出問題，學生思考、討論、回答，互相補充，教師進行點評，幫助完善.

　　是利用復數的幾何意義，借助數形結合進行探究.回顧研究過程和研究方法有利于培養學生思維的嚴謹性，積累基本的數學活動經驗.

　　（2）讓學生進一步理解復數三角表示式和輻角、輻角的主值等核心概念.使學生對概念形成清晰的認識，有利于復數三角形式的后續應用.

　　（3）讓學生進一步明確兩個復數相等的充要條件，體會類比的研究方法.

　　（4）讓學生進一步明確復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義，進一步體會類比、化歸與轉化、數形結合等數學思想方法.有利于提升學生直觀想象、邏輯推理等素養.

　　（5）通過比較，讓學生體會復數代數形式和三角形式各自的特點，體會復數的三角形式給復數的乘、除運算帶來的便利，以及復數三角形式與平面向量、三角函數之間的緊密聯系.

　　6. 課后作業：

　　習題7.3第3，4，6，7，8題

　　（五）目標檢測設計

　　1. 計算下列各式，并做出幾何解釋：

　　設計意圖：考查學生對復數乘除運算的三角表示式及其幾何意義的掌握程度．

　　2.在復平面內，把與復數對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉，求與所得的向量對應的復數（用代數形式表示）.

　　設計意圖：考查學生對復數除法運算幾何意義的了解和應用.

高中數學復數的三角表示第 4 篇

　　一、內容和內容解析

　　1.內容

　　復數的三角表示式，復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　本單元的知識結構：

　　本單元建議用2課時：第一課時，復數的三角表示式；第二課時，復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　2. 內容解析

　　復數的三角表示是復數的一種重要表示形式，復數的三角表示式、復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義，是復數代數形式及其乘除運算等知識的延續和深化.復數的三角表示溝通了復數與平面向量、三角函數等知識的聯系，為解決平面向量、三角函數和平面幾何問題提供了一種重要途徑，同時為學生今后在大學期間進一步學習復數的指數形式、復變函數論、解析數論等高等數學知識奠定基礎，可見本單元的內容在高中數學乃至大學數學課程中起著承前啟后的作用.

　　復數的三角表示，實際上是用有序數對（r,）來確定一個復數z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.復數的三角形式與代數形式有著緊密聯系，可以借助三角函數的知識，將三角形式和代數形式進行互化；基于復數的三角表示，按照復數的乘法運算法則，并利用三角恒等變換知識，就能推導得出復數乘法運算的三角表示，因此復數的三角表示是本單元的基礎.由復數乘法運算的三角表示可以推導出復數除法運算的三角表示.復數乘、除運算的三角表示不僅形式簡潔，給復數的乘、除運算帶來了便利，而且它們的幾何意義明顯，實際上，復數乘、除運算三角表示的幾何意義就是平面向量的旋轉和伸縮.借助復數乘、除運算三角表示的幾何意義，可以將一些復數、三角和平面幾何問題轉化為向量問題去解決. 因此，復數乘、除運算的三角表示式及其幾何意義在本單元中具有重要地位.

　　本單元內容突出了復數的三角表示和乘、除運算的幾何意義，體現了形與數的融合，如復數的三角表示是從向量出發，借助數形結合，利用三角函數知識推導得出的；復數的乘、除運算可以借助三角表示的幾何意義轉化為向量的旋轉和伸縮變換；等.此外，本單元的知識也蘊含了化歸與轉化的數學思想，如復數的三角形式和代數形式可以互相轉化，復數除法運算的三角表示可以轉化為復數乘法運算的三角表示，某些復數問題可以轉化為平面向量問題去解決，某些平面向量問題也可以轉化成復數問題去解決等.再有，本單元在研究過程中也運用了類比的研究方法，如三角表示的兩個復數相等的充要條件是類比代數形式兩個復數相等的充要條件得到的，復數除法三角表示的幾何意義是類比復數乘法三角表示的幾何意義得到的，等.運用好本單元的相關知識素材，讓學生體會這些數學思想和方法，有助于提升他們的直觀想象和邏輯推理素養.

　　基于以上分析，確定本單元的教學重點：復數的三角表示式，復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義，以及這些內容所體現的數形結合、化歸與轉化、類比等數學思想方法.

　　二、目標和目標解析

　　1. 目標

　　（1）了解復數三角表示式的推導過程，了解復數的三角表示式.

　　（2）了解復數的代數表示與三角表示之間的關系，會進行復數三角形式和代數形式之間的互化，了解兩個用三角形式表示的復數相等的條件.

　　（3）了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（4）在知識的探究和發現中，感受數形結合、化歸與轉化、類比等數學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.

　　2. 目標解析

　　

　　達成目標（2）的標志是：學生能根據運算的需要，將復數的三角形式和代數形式進行互化；能夠類比復數代數形式表示的兩個復數相等的充要條件得出三角形式表示的兩個復數相等的充要條件，并會判斷兩個用三角形式表示的復數是否相等.

　　達成目標（3）的標志是：學生能根據復數的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式推導出復數乘法運算的三角表示式，并能用文字語言闡述其含義；能根據復數乘法運算的三角表示，得出復數乘法的幾何意義；會類比復數乘法運算的三角表示及其幾何意義得出復數除法運算的三角表示及其幾何意義；會依據復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義進行相關的計算，能解決簡單的復數、三角和平面向量問題.

　　達成目標（4）的標志是：在教師的引導下，學生能夠運用數形結合的思想，探究復數三角表示式和復數乘、除運算幾何意義；在復數除法運算三角表示的推導過程中，能體會化歸與轉化的思想；能夠運用類比的方法，探究兩個三角表示的復數相等的充要條件，探究復數除法運算三角表示的幾何意義；在復數三角形式和代數形式的互化過程中，能感受事物之間在一定條件下可以互相轉化的辯證唯物主義觀點.

　　三、教學問題診斷分析

　　在知識儲備上，學生已經經歷了數系擴充的過程，學習了復數的概念及其幾何意義，知道復數a+bi和平面上的點z(a,b)以及向量的一一對應關系；掌握了復數乘、除運算的運算法則，為本單元學習復數的三角表示奠定了基礎.但從復數的幾何意義出發探究得出復數的三角表示式，從思維角度看學生還缺乏經驗；并且復數的三角表示式與復數的向量表示、三角函數有很強的關聯性，其形式也比較復雜，而且有些學生會錯誤地認為，只要復數的表達式中含有正弦和余弦函數就是復數的三角表示式.因此，探究和理解復數的三角表示式有一定難度.

　　在能力基礎上，學生通過高一上學期的學習，對高中數學學習中常用的基本數學思想方法已經有所了解，有運用數形結合、化歸與轉化等數學思想方法解決數學問題的意識，也知道類比是研究數學問題的一種常用的方法，但在實際應用中，學生運用起來還不夠熟練，而且往往很難針對具體問題的特點選擇合適的數學思想方法解決問題，所以在運用類比的方法探究三角形式表示的兩個復數相等的充要條件，利用數形結合、類比等方法探究復數乘、除運算幾何意義的過程中，學生可能會遇到障礙.

　　在學習態度上，由于高考不涉及本單元的內容，所以學生在重視程度上可能不夠，需要教師設置比較好的問題情境，并指出學習本節內容的重要意義和價值，從而激發學生的學習興趣和學習主動性.

　　綜上所述，本單元的教學難點為：

　　（1）探究、理解復數的三角表示式；

　　（2）對復數乘、除運算三角表示幾何意義的理解.

　　對于難點（1），在講解本單元的第一課時前，可提前布置一些預習作業，讓學生為新課的學習做好知識準備，或者在課上先復習平面向量和復數的幾何意義等相關知識，再進行新課的學習和探究，探究時要充分注意復數與平面向量和三角函數的聯系性，這是突破難點的一個重要舉措；探究出復數的三角表示式后，讓學生明晰復數三角表示式的基本結構特征，這樣有助于學生理解復數的三角表示式.

　　

　　四、教學支持條件分析

　　利用幾何畫板、GeoGebra等信息技術工具有助于幫助學生探究并理解輻角.例如，可以使用信息技術工具畫出平面向量表示的復數z=a+bi，讓學生通過觀察、比較，初步確定可以用以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角刻畫平面向量的方向；然后改變復數對應的平面向量的位置（在不同象限或在實軸、虛軸上），進行動態演示，感受選擇來刻畫平面向量方向的一般性和合理性. 也可以通過上述圖形，讓學生直觀感受復數a+bi與平面向量的對應關系，體會輻角的多值性和輻角主值的唯一性.

　　在復數乘、除運算的三角表示幾何意義的教學中，也可使用幾何畫板、GeoGebra等信息技術工具，使學生感受兩個復數相乘（或相除）時，模和輻角的變化情況，從而加深學生對幾何意義的理解.

　　五、教學過程設計

　　第一課時

　　7.3.1 復數的三角表示式

　　（一）課時教學內容

　　復數的三角表示式

　　（二）課時教學目標

　　1. 了解復數三角表示式的推導過程，了解復數的三角表示式.

　　2. 了解復數的代數表示與三角表示之間的關系，會進行復數三角形式和代數形式之間的互化，了解兩個用三角形式表示的復數相等的條件.

　　（三）教學重點與難點

　　教學重點：復數的三角表示式

　　教學難點：復數的三角表示式

　　（四）教學過程設計

　　引言：前面我們已經學習了復數及其四則運算，本節我們來研究復數的另一種重要表示——復數的三角表示.復數的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?讓我們一起來探究吧.

　　1. 溫故知新，奠定基礎

　　問題1 前面我們學習了復數的概念、復數的幾何意義，請同學們回憶一下它們分別是什么.

　　師生活動：學生思考、回答，指出z=a+bi(a，b∈R)稱為復數，以及復數的兩種幾何意義：復數z=a+bi與復平面內的點Z（a，b）一一對應；復數z=a+bi與平面向量=(a,b)一一對應.

　　追問1：你能在復平面內用平面向量表示z=a+bi嗎？

　　師生活動：學生回答，教師利用幾何畫板、GeoGebra等信息技術工具或在黑板上畫出復數z=a+bi對應的平面向量.

　　追問2：已知平面向量=(a,b)，能唯一確定與之對應的復數z嗎？復數z的表達式是什么？為什么？

　　師生活動：學生思考并回答，由于復數z=a+bi與平面向量=(a,b)一一對應，所以已知平面向量=(a,b)能唯一確定與之對應的復數，其表達式為z=a+bi.教師總結，復數z可以由向量的坐標(a,b)唯一確定.

　　設計意圖：復數的幾何意義是得出復數三角表示式的基礎.溫故知新，激活學生已有的知識儲備，為本課時從復數的向量表示出發探究復數的三角表示奠定基礎.

　　2. 引導探究，得出概念

　　問題2 我們知道復數z=a+bi可以由向量的坐標(a,b)唯一確定，向量既可以由它的坐標(a,b)唯一確定，也可以由它的大小和方向唯一確定，觀察分析圖1，能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數呢？你認為如何表示？

　　追問1：你認為為了解決問題2，首先應研究什么？

　　師生活動：學生在教師的引導下，觀察圖形、思考討論，發現解決問題2的首要環節是，應定量刻畫向量的大小和方向這兩個要素，并且向量的大小可以用復數的模來表示，向量的方向可以借助角來表示.

　　追問2：如何用文字語言表述角呢？

　　師生活動：學生思考回答，可能給出的表述不很確切. 教師逐漸引導糾正，逐步得出：角是以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角.

　　設計意圖：利用教科書上的探究問題，借助復數的幾何意義，引導學生嘗試定量刻畫向量的大小和方向，為得出復數的三角表示式奠基，這也是得出復數三角表示式的第一個關鍵環節.

　　追問3： 你能用向量的模，以及以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角來表示復數z嗎？

　　師生活動：讓學生分組討論.學生利用復數的向量表示的圖形（圖1），容易得出：

　　

　　設計意圖：要求學生進一步借助圖形，得出模r和角與平面向量的坐標(a,b)的關系，從中感受復數和平面向量的關系以及數形結合的思想. 這是得出復數三角表示式的另一個關鍵環節.

　　追問4： 剛才我們畫的圖形，角的終邊落在第一象限，得到a+bi=r(cos+isin)，這個式子是否具有一般性呢？即：若角的終邊落在第二、三、四象限，這個式子成立嗎？若點z在實軸或虛軸上，即角的終邊落在實軸或虛軸上時，這個式子也成立嗎？

　　師生活動：教師借助幾何畫板、GeoGebra和PPT等軟件，改變平面向量的位置，讓學生觀察分析，得出結論：不管角的終邊落在什么位置，都有a+bi=r().教師指出r()叫做復數z=a+bi的三角表示式，簡稱為三角形式，并板書復數的三角表示式，介紹輻角的概念，說明輻角既可以用弧度表示，也可以用角度表示.最后指出為了與三角形式區分開，把叫a+bi做復數的代數表示式，簡稱代數形式.

　　設計意圖：讓學生分析角的終邊落在各個象限或實軸、虛軸的情況，由具體到抽象，由特殊到一般，歸納出復數的三角表示式，感受數學的嚴謹性，培養抽象概括能力.

　　問題3 一個復數的輻角的值有多少個？

　　師生活動：學生結合圖1，觀察思考回答.利用終邊相同的角的特點，容易得出：任何一個不為零的復數的輻角的值有無限多個.

　　追問1：這些輻角的值之間有什么關系呢？

　　師生活動：學生思考回答，因為任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和，所以這些輻角的值之間相差的整數倍.

　　追問2：若復數為0，它的輻角是哪個角？

　　師生活動：教師引導學生分析，對于復數0，因為它對應著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輻角也是任意的，而不是0.

　　設計意圖：讓學生由平面直角坐標系中終邊相同的角的特點，得出復數輻角的多值性，以及這些值之間相差的整數倍；類比零向量，了解復數為0時輻角的任意性.

　　問題4 在研究問題時，復數輻角的多值性有時會給我們帶來不便，為了使任意一個非0復數有唯一確定的“值”作為其所有輻角值的代表，你認為規定這種“值”在哪個范圍內比較合適？

　　

　　追問：一個非零復數輻角的主值有多少個？

　　師生活動：學生思考回答，一個非零復數的輻角主值有且只有一個.教師總結：每一個非零復數有唯一的模與輻角的主值.

　　設計意圖：給出輻角的主值的概念和取值范圍.讓學生了解規定輻角的主值，保證了其唯一性，從而為一些表述和研究帶來便利.

　　3. 概念辨析，加深理解

　　

　　設計意圖：由學生容易出錯的問題，通過具體事例引出對復數三角表示式的辨析，通過對復數三角表示式結構特點的分析，得出復數三角表示式的結構特征，進而根據結構特征作出判斷.

　　例1 判斷下列復數是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.

　　師生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視并進行個別指導，學生都完成后進行反饋交流，教師幫助更正錯誤，指導學生依據復數三角表示式的結構特征進行反思，并總結：熟練應用三角函數的誘導公式進行恒等變換，是將復數的非三角表示式轉化為三角表示式的一個關鍵環節.

　　設計意圖：辨析復數的三角表示式，幫助學生進一步理解三角表示式的概念，學會將復數的非三角表示式化為三角表示式的方法.

　　4. 概念應用，鞏固新知

　　例2 畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式：

　　師生活動：先由學生思考發言，師生共同總結解題的基本思路，教師板書第1小題，學生書寫第2小題完整的解題步驟.

　　教師總結解題思路：復數的幾何意義是解決此類問題的關鍵，要借助數形結合解決問題.只要確定復數的模和一個輻角，就能將復數的代數形式轉化為三角形式.而利用即可求得模，先借助向量的坐標判斷輻角的終邊所在的象限，再利用cos或sin求輻角.

　　設計意圖：一方面是讓學生進一步體會復數的幾何意義，感受復數和平面向量一一對應的關系；更為重要的是借助與復數對應的點的坐標，判斷角的終邊所在的象限，體會將復數代數形式化為三角形式的基本方法.

　　例3 分別指出下列復數的模和一個輻角，畫出它們對應的向量，并把這些復數表示成代數形式：

　　師生活動：學生在練習本上獨立完成，教師巡視并給予個別指導，學生都完成后請學生展示交流. 教師指導學生反思：應注意輻角的值不只一個，寫出的輻角可以是輻角的主值，也可以不是，它們相差的整數倍.

　　設計意圖：例3主要有兩個用意，一是通過幾何直觀，幫助學生進一步認識復數三角形式中r,的含義，進而認識到復數實質上可以由有序實數對(r,)來唯一確定，再次感受復數與平面向量的聯系；二是幫助學生掌握直接利用三角函數公式，將復數的三角形式化為代數形式的方法.

　　問題6 兩個用代數形式表示的非零復數相等的條件是什么？兩個用三角形式表示的非零復數在什么條件下相等呢？

　　師生活動：引導學生利用類比的方法思考、回答.教師可以引導學生按照下面的思路進行探究：兩個復數相等兩個復數對應的向量相同兩個向量的長度相等且方向相同兩個復數的模相等且輻角主值相等.

　　通過推理，順理成章地得出結論.

　　設計意圖：讓學生運用類比的研究方法，得出兩個三角形式的非零復數相等的充要條件，體會推理的嚴謹性.

　　5. 課后作業

　　教科書習題7.3 第1，2題.

　　（五） 目標檢測設計

　　1. 畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式：

　　設計意圖：考查學生將復數的代數形式化為三角形式的能力．

　　2. 下列復數是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.

　　設計意圖：考查學生對復數三角形式的掌握程度．

　　3. 將下列復數表示成代數形式：

　　設計意圖：考查學生將復數的三角形式化為代數形式的能力.

　　第二課時

　　7.3.2 復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義

　　（一）課時教學內容

　　復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（二）課時教學目標

　　1. 了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　2. 在知識的探究和發現中，感受數形結合、化歸與轉化、類比等數學思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.

　　（三）教學重點與難點

　　教學重點：復數乘、除運算的三角表示

　　教學難點：復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

　　（四）教學過程設計

　　引言：在7.2節，我們研究了復數代數形式的四則運算，上節課又學習了復數的另一種重要的表示形式——三角形式，很自然地，我們想知道復數的四則運算是否能用三角形式表示？下面我們就一起來研究這個問題.

　　1.知識回顧

　　問題1 我們知道，復數可以進行加、減、乘、除運算，請回憶一下，復數代數形式加法和乘法運算的法則是什么？

　　師生活動：學生回憶后回答：

　　設a，b,c,d∈R，則

　　(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)

　　設計意圖：復數加法、乘法運算的法則是研究復數加法、乘法運算三角表示的出發點，提出這個問題，激活學生已有的認知基礎，為本節課研究復數乘法運算的三角表示進行鋪墊.

　　2.復數乘法運算的三角表示及幾何意義的探究及應用

　　問題2 上節課，我們學習了復數一種新的表示方法——三角形式，那么復數的加法和乘法運算是否能用三角形式來表示呢？

　　師生活動：教師給學生充分的自主活動的時間，學生經過獨立思考和演算后，由學生匯報交流，教師及時補充或糾正錯誤，師生共同完成復數加法和乘法是否能用三角形式表示的探究過程.發現：一般說來復數的加法不便表示成三角形式；復數的乘法能表示成三角形式，其三角表示公式為：

　　教師板書復數乘法的三角表示公式.

　　追問2：復數的減法運算是加法運算的逆運算，復數的減法運算是否能用三角形式來表示？

　　師生活動：教師側重引導學生，將復數的減法運算轉化為加法運算，學生類比探究復數的加法是否能用三角形式表示的過程，容易發現：一般說來，復數的減法不便表示成三角形式.

　　設計意圖：讓學生獨立思考、自主探究，經歷復數乘法的三角表示公式得出的過程，從中進一步體會復數和三角之間的緊密聯系.

　　問題3 你能用文字語言來表述復數乘法的三角表示公式嗎？

　　師生活動：學生回答，教師補充完善.得出：兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.可以簡述為“模相乘，輻角相加”.

　　設計意圖：培養學生的語言表達能力，幫助學生進一步加深對復數乘法運算三角表示公式的理解.

　　問題4 我們知道復數的加、減運算具有幾何意義，那么復數乘法很可能也具有幾何意義.請你利用復數乘法運算的三角表示進行探索、嘗試.

　　師生活動：學生用紙筆畫出草圖，分組討論交流.教師借助幾何畫板、GeoGebra等軟件畫出對應的向量，演示乘法運算的過程，學生歸納得出復數乘法運算三角表示的幾何意義（圖2）.

　　設計意圖：讓學生借助圖形進行分析，探究得出復數乘法三角表示的幾何意義，體會數形結合思想，同時也培養學生的自主學習能力和合作意識.

　　師生活動：學生獨立做題，教師巡視答疑，學生完成后利用多媒體進行交流展示.教師指導學生反思：運用復數乘法的三角表示式進行運算的前提是，給出的復數必須都是三角形式，然后才能利用“模數相乘，輻角相加”的算法進行運算. 教學中應提醒學生：當不要求把計算結果化為復數的代數形式時，也可以直接用三角形式表示結果.

　　設計意圖：讓學生運用復數乘法的三角表示公式進行運算，進一步熟悉算理和復數乘法運算三角表示的幾何意義.

　　設計意圖：讓學生了解利用復數乘法的幾何意義可以解決某些與向量旋轉、伸縮有關的復數運算問題，體會利用復數乘法的幾何意義解決問題的便捷性.

　　3. 復數除法運算的三角表示及幾何意義的探究與應用

　　問題6 除法運算是乘法運算的逆運算.根據復數乘法運算的三角表示，你能得出復數除法運算的三角表示嗎？你能用文字語言加以表述嗎？

　　師生活動：教師引導，學生討論，得出將復數除法運算轉化為乘法運算的方法（配湊法），學生自己推導得出復數除法運算三角表示公式，教師板書公式：

　　用文字語言可表述為：兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差．

　　追問：你還有其他的推導方法嗎？

　　師生活動：教師引導，學生思考回答。也可以通過 “分數”運算直接推導得出：

　　設計意圖：在復數乘法運算三角表示的基礎上，引導學生借助已有知識和運算技巧推導復數除法運算的三角表示，體會化歸與轉化和類比的數學思想，提升數學運算素養.

　　追問：若模伸長或縮短倍呢？

　　師生活動：學生思考回答，教師借助幾何畫板、GeoGebra等軟件演示，幫助學生理解. 教師總結：利用復數乘、除運算的幾何意義，可以把平面向量的旋轉和伸縮問題轉化為復數的乘、除運算問題，反之亦然.

　　設計意圖：讓學生思考復數乘、除運算幾何意義的反向應用，培養逆向思維能力，進一步感受平面向量和復數之間可以互相轉化的關系.

　　4. 課堂練習

　　（1）教科書第89頁練習1（1）（3）.

　　（2）教科書第89頁練習2（1）（2）.

　　5. 單元小結

　　（1）回顧并敘述得出復數三角形式的研究思路和基本過程，并說說研究方法.

　　（2）復數三角表示式的基本結構特點是什么？輻角和輻角的主值的概念和特點是什么？

　　（3）三角形式表示的兩個復數相等的充要條件是什么？它是怎么得出的？

　　（4）復數乘法運算和除法運算的三角表示公式及其幾何意義分別是什么？它們是如何推導出來的，試簡述研究思路和方法.

　　（5）簡述復數的代數形式和三角形式的區別與聯系，它們在運算上各有什么優勢？分別適合哪些運算？

　　師生活動：教師提出問題，學生思考、討論、回答，互相補充，教師進行點評，幫助完善.

　　是利用復數的幾何意義，借助數形結合進行探究.回顧研究過程和研究方法有利于培養學生思維的嚴謹性，積累基本的數學活動經驗.

　　（2）讓學生進一步理解復數三角表示式和輻角、輻角的主值等核心概念.使學生對概念形成清晰的認識，有利于復數三角形式的后續應用.

　　（3）讓學生進一步明確兩個復數相等的充要條件，體會類比的研究方法.

　　（4）讓學生進一步明確復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義，進一步體會類比、化歸與轉化、數形結合等數學思想方法.有利于提升學生直觀想象、邏輯推理等素養.

　　（5）通過比較，讓學生體會復數代數形式和三角形式各自的特點，體會復數的三角形式給復數的乘、除運算帶來的便利，以及復數三角形式與平面向量、三角函數之間的緊密聯系.

　　6. 課后作業：

　　習題7.3第3，4，6，7，8題

　　（五）目標檢測設計

　　1. 計算下列各式，并做出幾何解釋：

　　設計意圖：考查學生對復數乘除運算的三角表示式及其幾何意義的掌握程度．

　　2.在復平面內，把與復數對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉，求與所得的向量對應的復數（用代數形式表示）.

　　設計意圖：考查學生對復數除法運算幾何意義的了解和應用.