這是理解直線與圓的位置關系，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

理解直線與圓的位置關系第 1 篇

　　本節課的教學 內容是確定圓的條件，即 探索經過一個點、兩個點、三個點分別能否作出圓、能作出幾個圓的問題，歸納總結出不在同一條直線上的三點作圓的問題，得出重要結論“不在同一條直線上的三個點確定一個圓”．從而培養學生的探索精神，同時可以使學生體會 在這一過程中所體現的歸納思想．

確定圓的條件教案

　　在教學中，教師應指導學生自己去探索，與作直線類比，引出確定圓的條件問題，由易到難讓學生經歷作圓的過程，從中探索確定圓的條件．通過學生自己的親身體驗，再加上同學間的合作與交流，最后師生共同歸納總結便可輕松愉悅地完成 教學內容．

　　教學目標

　　（一）教學知識點

　　了解不在同一條直線上的三個點確定一個圓，以及過不在同一條直線上的三個點作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念．

　　（二）能力訓練要求

　　1．經歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，培養學生的探索能力．

　　2．通過探索不在同一條直線上的三個點確定一個圓的問題，進一步體會解決 數學問題的策略．

　　（三）情感與價值觀要求

　　1．形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神．

　　2．學會與人合作 ，并能與他人交流思維的過程和結果．

　　教學重點

　　1．經歷不在同一條直線上的三個 點確定一個圓的探索過程，并能掌握這個結 論．

　　2．掌握過不在同一條直線 上的三個點作圓的方法．

　　3．了解三角形的外接 圓、三角形的外心等概念．

　　教學難點

　　經歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，并能過不在同一條直線上的三個點作圓．

　　教學方法

　　教師指導學生自主探索交流法．

　　教具準備

　　投影片三張

　　第一張：（記作§ 3．4 A）

　　第二張：（記作§ 3．4 B）

　　第三張：（記作§ 3．4 C）

　　教學過程

　　Ⅰ．創設問題情境，引入新課 [師]我們知道經過一點可以作無數條直線，經過兩點只能作一條直線，那么，經過一點能作幾個圓？經過兩點、三點……呢？本節課我們將進行有關探索．

　　Ⅱ．新課講解

　　1．回憶及思考

　　投影片（§ 3．4 A）

　　1．線段垂直平分線的性質及作法．

　　2．作圓的關鍵是什么？

　　[生]1．線段垂直平分線的

　　性質是：線段垂直平分線上的點

　　到線段兩端點的距離相等．

　　作法：如右圖，分別以A、B

　　為圓心 ，以大于 AB長為半徑畫弧，

　　在AB的兩側找出兩交點C、D，作直線CD，則直線CD就是線段AB的垂直平分線，直線CD上的任一點到A與B的距離相等．

　　[師]我們知道圓的定義是：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓．定點即為圓心，定長即為半徑，根據定義大家覺得作圓的關鍵是什么？

　　[生]由定義可知，作圓的問題實質上就是圓心和半徑的問題．因此作圓的關鍵是確定圓心和半徑的大小．確定了圓心和半徑，圓就隨之確定．

　　2．做一做（投影片§3．4 B）

　　（1）作圓，使它經過已知點A，你能作出幾個這樣的圓？

　　（2）作圓，使它經過已知點A、B。你是如何作的？你能作出幾個這樣的圓？其圓心的分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為什么？

　　（3 ）作圓，使它經過已知點A、B、C（A、B、C三點不在同一條直線上）．你是如何作的？你能作出幾個這樣的圓？

　　[師]根據剛才我們的分析已知，作圓的關鍵是確定圓心和半徑，下面請大家互相交換意見并 作出解答．

　　[生]（1）因為作圓實質上是確定圓心和半徑，要經過已知點A作圓，只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了下來．所以以點A以外的任意一點為圓心，以這一點與點A所連的線段為半徑就可以作一個圓．由于圓心是任意的．因此這樣的圓有無數個，如圖（1）．

　　（2）已知點A、B都在圓上，它們到圓心的距離都等于半徑．因此圓心到A、B的距離 相等．根據前面提到過的線段的垂直平分線的性質可知，線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，則圓心應在線段AB的垂直平分線上．在AB的垂直平分線上任意取一點，都能滿足到A、B兩點 的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任取一點都可以作為圓心，這點到A的距離即為半徑．圓就確定下來了．由于線段AB的垂直平分線上有無數點，因此有無數個圓心，作出的 圓有無數個．如圖（2）．

　　（3）要作一個圓經過A、B、C三點，就是要確定一個點作為圓心，使它到三點的距離相等．因為到A、B兩點距離相等的點的集合是線段AB的垂直平分線，到B、C兩點距離相等的點的集合是線段BC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的'交點滿足到A、B、C三點的 距離相等，就是所作圓的圓心．

　　因為兩條直線的交點只有一個，所以只有一個圓心，即只能作出一個滿足條件的圓．

　　[師]大家的分析很有道理．究竟應該怎樣找圓心呢？

　　3．過不在同一條直線上的三點作圓．

　　投影片（§3．4 C）

　　作法 圖示

　　1．連結AB、BC

　　2．分別作AB、BC的垂直平分線DE和FG，DE和FG相交于點O

　　3．以O為圓心，O A為半徑作圓⊙O就是所要求作的圓

　　他作的圓符合要求嗎？與同伴交流．

　　[生]符合要求．

　　因為連結AB，作AB的垂直平分線ED，則ED上任意 一點到A、B的距離相等，連結BC，作BC的垂直平分線FG，則FG上的任一點到B、C的距離相等．ED與FG的交點O滿足OA=OB=OC，因此這樣的畫法滿足條件．

　　[師]由上可知，過已知一點可作無數個圓，過已知兩點也可作無數個圓，過不在同一條直線上的三點可以作一個圓，并且只能作一個圓．

　　不在同一直線上的三個點確定一個圓．

　　4．有關定義

　　由上可知，經過三角形的三個頂點可以

　　作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓（circumcircle of triangle）．這個三角：形叫這個圓的內接三角形．

　　外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心（circumcenter）．

　　Ⅲ．課堂練習

　　已知銳角三角形、直角—三角形、鈍角三角形，分別作出它們的外接圓．它們外心的位置有怎樣的特點？

　　解：如下圖．

　　銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形

　　O為外接圓的圓心，即外心．

　　銳角三角形的外心在三角形的內部，直角三角形的外心在斜邊上， 鈍角三角形的外心在三角 形的外部．

　　Ⅳ．課時小結

　　本節課所學內容如下：

　　1．經歷 不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程．

　　2．過不在同一條直線上的二個點作圓的方法．

　　3．了解三角形的外接圓，三角形的外心等概念．

　　Ⅴ．課后作業

　　習題3．6

　　Ⅵ．活 動與探究

　　如下圖，CD所在的直線垂直平分線段AB．怎樣使用這樣的工具找到圓形工件的圓心？

　　解：因為A、B兩點在圓上，所以圓心必與A、B兩點的距離相等，又因為和一條線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．所以圓心在CD所在的直線上．因此使用這樣的工具可以作出圓形工件的任意兩條直徑．它們的交點就是圓心．

　　板書設計

　　3。4確定圓的條件

　　一、1．回憶及思考（投影片§ 3．4 A）

　　2．做一做（投影片§ 3．4 B）

　　3．過不在同一條直線上的三點作圓

　　4．有關定義

　　二、課堂練習

　　三、課時小結

　　四、課后作業

理解直線與圓的位置關系第 2 篇

◆模式介紹

新課程理念堅持把“為了每個學生的發展”作為課堂教學改革的主旨．發現式教學模式是在老師的組織引導下，規范學生自主學習習慣，讓學生在自學和交流中發現問題、解決問題，使學生積極主動地獲取知識，并培養良好學習習慣的一種教學模式．

發現式教學通常包括以下六個教學環節：

激趣導學——目標導學——導思點撥——設問尋疑——診斷反饋——拓展延伸

◆設計說明

首先通過問題1創設配玻璃這個現實情境，不但能讓學生回憶圓的定義及作圓的關鍵是確定圓心和半徑，而且能激發學生的學習興趣和探究欲望，為本節課研究“確定圓的條件”做好鋪墊．問題2以問題串的形式引導學生由易到難地開展探究活動，從中探索確定圓的條件，培養學生的探究精神，使學生體會在這一過程中所體現的歸納思想．問題3通過設問引出外接圓、外心等概念．問題4通過反證法證明在同一直線的三點不能確定一個圓，發展學生的辨析思維；追問的目的，一是檢驗學生學習狀況，二是讓學生產生一種利用新知解決問題的成就感，提升學生學習積極性.問題5旨在讓學生利用前面解決問題的策略確定圓心的位置．

◆教材分析

本節是北師大版義務教育教科書《數學》九年級下冊第三章《圓》的第5節《確定圓的條件》的教學內容，本節課是在學生學習了“經過一點可以畫無數條直線，經過兩點有且只有一條直線，線段垂直平分線的性質”等知識之后，同時具備了用尺規作“線段垂直平分線”等操作技能的基礎上進行的.主要研究確定圓的條件，并用尺規過不在同一條直線上的三點作圓．

本節內容的教學應該由易到難，讓學生經歷經過一點、兩點、三點作出圓的過程，從中探索確定圓的條件．作圖前，要引導學生通過思考明確這樣的基本思想：作圓的問題實質上就是確定圓心和半徑的問題，確定了圓心和半徑，圓就隨之確定．

◆教學目標

【知識與能力目標】

1、了解不在同一直線的三點確定一個圓，會用尺規過不在同一直線上的三個點作圓．

2、了解三角形的外接圓、三角形的外心的概念．

【過程與方法】

在經過不在同一直線上的三個點確定一個圓的探索過程中，讓學生進一步體會解決數學問題的策略．

【情感態度與價值觀】

在經過不在同一直線上的三個點確定一個圓的探索過程中，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神．

◆教學重難點

【教學重點】

確定圓的條件．

【教學難點】

探索確定圓的條件．

◆課前準備

多媒體課件、教具等．

◆教學過程

【激趣導學】

問題1 （1）丁丁不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，丁丁應該帶哪一塊玻璃碎片去商店配制？

九年級數學下冊第3章圓3.5確定圓的條件教案(新版)北師大版

九年級數學下冊第3章圓3.5確定圓的條件教案(新版)北師大版

（2）商店配玻璃的師傅，要配制一塊與原來大小一樣的圓形玻璃，他必須要知道什么？為什么？

（3）作圓的關鍵是什么？

設計意圖：通過創設配玻璃這個現實情境，不但能讓學生回憶圓的定義及作圓的關鍵是確定圓心和半徑，而且能激發學生的學習興趣和探究欲望，為本節課研究“確定圓的條件”做好鋪墊．

【目標導學】

學習目標：

1、經歷探索過程，了解“不在同一直線上的三個點確定一個圓”．

2、會過不在同一直線上的三個點作圓．

3、了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形等概念．

設計意圖：根據教材的實際需求把本節要完成的教學內容分解成3個由淺入深的小目標，最大限度的使學生動口、動手、動腦，把學習的主動權交給學生，讓學生成為學習的主人，教師根據課堂教學現狀加以適當的組織引導．

【導思點撥】

問題2 我們知道經過一點可以作無數條直線，經過兩點只能作一條直線，那么，經過一點能作幾個圓？經過兩點、三點呢？動手畫一畫：

（1）作圓，使它經過已知點A．你能作出幾個這樣的圓？為什么有這樣多個圓？

（2）作圓，使它經過已知點A、B．你是如何做的？依據是什么？你能作出幾個這樣的圓？其圓心分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為什么？

（3）作圓，使它經過已知點A、B、C（A、B、C不在同一直線上）．你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？為什么？

結論：（1）以點A以外的任意一點為圓心，以這一點與點A所連線段為半徑就可以作一個圓．由于圓心是任意的，因此這樣的圓有無數個．

九年級數學下冊第3章圓3.5確定圓的條件教案(新版)北師大版

（2）經過A、B兩點的圓，其圓心到A、B兩點的距離一定相等，所以圓心應在線段AB 的垂直平分線上．另一方面，線段AB的垂直平分線上的點到點A、B兩點的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任意取一點為圓心，都可以作一個經過A、B兩點的圓．因此這樣的圓也有無數個．

···

（3）要作一個圓經過A、B、C三點，就要確定一個點作為圓心，使它到三點的距離相等．到A、B兩點距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到B、C兩點距離相等的點在線段BC的垂直平分線上，兩直線的交點到A、B、C三點的距離相等，即所作圓的圓心，利用尺規過不在同一直線上的三點作圓的方法如下：

理解直線與圓的位置關系第 3 篇

　　[關鍵詞 “圓的標準方程”是人教版高中數學（必修）教材第二冊的內容。 作為數學中的經典內容，學生在此前的數學學習中積累了大量的關于圓的經驗與知識。 到了高中階段，從方程的角度來描述圓，對學生的思維方式提出了新的挑戰，從而本內容的教學也就成為高中數學教學中具有一定標桿意義的事件。 在日常教學中，筆者對本課的教學進行了深入的思考，現結合本課的教學設計，談談筆者對本課教學的研究與感受。

　　[教學內容分析

　　圓的標準方程在解析幾何內容中具有重要的基礎作用，同時具有承上啟下的地位。 從知識構建的角度來看，圓的標準方程是其他圖形方程學習的基礎，也是二次曲線學習的起始知識，直線與圓的關系、圓錐曲線等知識，均需在此基礎上進行構建。 從學生學習的角度來看，由于圓是學生研究最多的基本圖形之一，因此學生對圓有著豐富的感性認識，也有著豐富的數學知識作為支撐，也因此對其標準方程的學習，可以打開學生學習其他曲線方程的思路，可以為后面知識的學習形成一種較高思維水平的定式作用（思維定式并不總是消極的，很多時候學生的學習之所以沒有障礙，正是一定水平上的思維定式作用的結果）。 從這個角度講，圓的標準方程這一節課的教學，需要花大氣力進行基礎作用的奠基。 但是需要看到的是，解析幾何中對圓的研究，畢竟不同于學生此前的學習方式，尤其是通過方程來描述像圓這樣的曲線，學生在思維方式上就有困難，這種困難往往會影響學生構建對圓的標準方程認識時的學習心理，因此在教學設計中需要重視這一因素。 從問題解決（數學知識應用）的角度來看，本課需要結合高考

　　要求，在讓學生運用圓的標準方程解決數學問題及實際問題的過程中，形成一種良好的直覺，即對于一些基本的與之相關的問題，要能夠在第一時間反映出其與圓的標準方程有關，需以之為工具實現問題的求解。 如上面所分析的一樣，這種基礎性的知識，只有成為良好的直覺，才能成為有效的解題工具。

　　結合基本的教學經驗，在教學目標的確定上，筆者以為本課的內容可以在協調好三維目標的基礎上具體制定這樣的教學目標：

　　①掌握圓的標準方程，并能夠根據圓的標準方程反映出圓心坐標與半徑；

　　②在圓的標準方程建立的過程中形成數形結合思想，深刻體驗用代數方法解決幾何問題的過程；

　　③在用圓的標準方程描述圓的過程中體驗數學的簡潔美與對應美。 關于這樣的目標界定，筆者重點解釋一下第三個目標：從傳統的角度看，情感態度價值觀這一目標往往容易虛化，在實際教學中不容易得到真正的關注。 在筆者看來，就圓的標準方程這一教學而言，更實在的是讓學生在對圓的圖形的認識中發現其是最簡潔的'基本圖形之一，而描述其的標準方程亦具有對稱、簡潔的特征，認識到這兩點即可，不需要追求過多、過空的所謂情感態度。

　　[教學方法分析

　　教學有法，教無定法，貴在得法！對于圓的標準方程這一內容而言，采用什幺樣的教學方法，是教學中需要高度重視的問題。 結合筆者此前的教學經驗，同時注意學生主體作用的發揮，筆者在此內容的教學中確定這樣的兩個教學方法：一是問題驅動（其中包括數學探究等環節），促進學生的數學建模；二是通過任務驅動的方法，促進學生應用圓的標準方程的知識解決問題。

　　對于這兩個教學方法的確定，筆者的思考是這樣的：一方面，本知識的基礎性作用，決定了其在學生的考試評價中需要發揮重要作用，因此首先必須考慮到考試的需要，因而用問題驅動可以讓學生不斷地突破最近發展區，從而形成一種較好的數學思維方式與學習習慣。 教學經驗表明，很多學生在數學學習中之所以感覺困難，就是因為沒有一種良好的數學意識與思維習慣，而像圓的標準方程這樣的基礎性知識，必須成為培養學生數學意識與思維習慣的良好載體。 另一方面，任務驅動可以在問題驅動的基礎上更好地發揮學生的內驅力，從而讓圓的標準方程的運用能夠真正成為學生的良好直覺，而這一思路其實也呼應了第一點對教學目標的闡述。

　　需要注意的是，教學方法的確定原則上只是宏觀角度對學生學習過程預設基礎上的，對教學行為判斷的產物。 在具體的教學過程中還需要根據細節進行適當地調整，如果將教學方法（包括教學過程）模式化，那這樣的教學方法確定是沒有意義的。

　　[教學過程闡述

　　在圓的標準方法的教學設計中，筆者確定了這樣的三個步驟，現結合教學過程具體說明：

　　第一步，創設情境，激活思維。 圓的標準方程在生活中的應用看起來并不那幺直接，因此情境的創設需要一定程度的思考。 筆者所選擇的是汽車過隧道的例子，將隧道的截面抽象成一個半圓，給出其半徑，然后提出問題：已知某車的寬度與高度，其能否進入這個隧道？這是一個被多人選用過的情境，其好就好在能夠將圓的標準方程巧妙地蘊含其中，同時學生又可以在原有數學知識的基礎上解決這個問題。

　　第二步，問題驅動，展開探究。 在上述問題的驅動之下，引導學生的思維對情境進行加工，并尋找問題解決的思路。 在教學過程中，筆者發現學生起初的思路是原有知識體系的產物，比如說有學生試圖通過勾股定理，去算出汽車對角線的距離并與圓的半徑進行對比。 這是一種思路，也能夠體現學生的已有能力水平，從最近發展區的觀點來看，教學中教師要做的就是從這個水平出發，讓學生的思維向圓的標準方程發展。 于是，數學探究的過程也就展開了。 此時，教師可以拋出一個問題：能否以坐標為工具，來解決這個問題？在問題驅動下的探究過程中，學生的學習思路大致相同，他們首先要在坐標上建立起隧道與汽車兩個對象（當然這是數學抽象的產物），然后將相關的數據記錄其中，于是隧道被抽象為圓心在原點、具有一定半徑的半圓，而汽車被抽象為一個已知長和寬的矩形。 于是實際問題也就成為一個純粹的數學問題，最終學生要比較的也就是直角坐標上圓的半徑與矩形對角線的長度的關系，而其中的難點又是圓的半徑的確定。 于是學生的研究重點就轉移到了坐標系的圓上來，這個時候教師進一步提出問題：如何在直角坐標系上描述一個圓呢？有此問題驅動，其后建立圓的標準方程與傳統教學就接軌了，考慮到同行們相對熟稔，此不贅述。

　　第三步，變式訓練，任務驅動。 這一步有兩個任務，一是向學生提出問題，如果圓心不在原點處，那圓的標準方程如何建立？二是呼應此前的實際問題，并給出新的實際問題，以讓學生具有一個運用圓的標準方程去解決不同難度實際問題的機會，從而形成良好的解題直覺。

　　在上述三個步驟中，關鍵在于學生思路的打開，也就是教學情境的創設與其的引導。 多年的教學經驗讓筆者意識到，很多時候學生感覺數學學習困難，并不完全是因為數學知識本身所謂的“難”上，而是學生入不了“境”，因而也就找不到“門”。 因此，創設情境非常重要，打開學生的思路亦很重要，有此兩個環節作為基礎，學生的思路一旦打開，后面的數學概念建構有時反而比較簡單，本節課的教學就是如此。

　　[教學及其反思

　　反思本課的教學，尤其是將此次教學的整體過程與此前進行比較時，還是有所發現：

　　其一，數學內容的定位問題。 圓的標準方程在曲線方程中起著什幺樣的作用？這樣的問題此前沒有仔細思考過，而一旦思考之后，就發現其在知識構建、能力形成乃至于數學意識與學習習慣形成方面都具有重要的作用，這種作用要想真正發揮出來，只能依靠好的教學設計。

　　其二，教學設計要在學生的基礎與考試要求之間做好平衡，過于偏向前者，則滿足不了考試要求；過于偏向后者，則學生的學習過程就是空中樓閣。 尋找這個平衡點，往往成為評價教師教學能力的關鍵，同時也是教師自身專業成長的著力點。

　　其三，數學意識是數學教學的重要方向。 筆者在圓的標準方程的教學中，注意比較過數學成績好與差學生的表現，結果發現數學學得好的學生，他們往往有一個極好的直覺，能夠迅速地判斷出數學學習的下一步方向，而學困生就缺乏這樣的意識。 有此觀察之后，筆者還注意研究過數學進步較快的學生的學習特點，發現他們的數學意識也挺好，這就使筆者確信數學意識的培養很重要。

理解直線與圓的位置關系第 4 篇

知識點：

知識點1：過三點的圓。

由圓的定義可知，圓有兩個要素：一個是圓心，另一個是半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，作圖的關鍵是確定圓心的位置和半徑的大小。

探索1：作圓，使它經過已知點A

由于所求的圓的圓心和半徑都沒有限制，因此，只要以點A以外的任意一點為圓心，以這一點（圓心）與點A的距離為半徑，就可以作出要求作的圓，這樣的圓有無數個。

探索2：作圓，使它經過A，B兩點。

要作經過A、B兩個點的圓，就必須以與點A、B距離相等的點為圓心。所以只要以線段AB為垂直平分線上任意一點為圓心，以這點與A或B的距離為半徑長，就可以作出要求作的圓，這樣的圓也有無數個。

探索3：作圓，使它經過不在同一直線上的三個已知點。

作圓的關鍵是圓心和半徑，要求圓心到三點的距離相等。因此符合這樣條件的點是唯一的，而半徑也是唯一的。所以這樣的圓是唯一的。

結論：不在同一條直線上的三個點確定一個圓，同一直線上三點不能作圓。

視頻教學：

練習：

1．給定下列圖形可以確定一個圓的是（

　　）

A．已知圓心B．已知半徑C．已知直徑D．已知三個點

2．下列說法正確的是（

　　）

A．等弧所對的圓心角相等B．平分弦的直徑垂直于這條弦

C．經過三點可以作一個圓D．相等的圓心角所對的弧相等

3.如圖，一只花貓發現一只老鼠溜進了一個內部連通的鼠洞，鼠洞只有三個出口A，B，C，要想同時顧及這三個出口以防老鼠出洞，這只花貓最好蹲守在(

　　)

A.△ABC的三邊高線的交點P處

B.△ABC的內角平分線的交點P處

C.△ABC的三邊中線的交點P處

D.△ABC的三邊垂直平分線的交點P處

4.如圖，在5×5的正方形網格中，一條圓弧經過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是(

　　)

A.點P B.點Q C.點R D.點M

5.如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都相等，△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上.若格點D在△ABC外接圓上，則圖中符合條件的格點D(點D與點A，B，C均不重合)有(

　　)

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

課件：