這是復數乘法的幾何意義，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

復數乘法的幾何意義第 1 篇

一、復數的三角形式：

(z = r(cos theta + isin theta ))（(r>0)），(z)對應點(Z(rcos theta ,rsin theta ))，對應向量(overrightarrow {OZ} = (rcos theta ,rsin theta ))，(|z| = |overrightarrow {OZ} | = r)

若({z_1} = {r_1}(cos {theta _1} + isin {theta _1}))，({z_2} = {r_2}(cos {theta _2} + isin {theta _2}))，則

({z_1}{z_2} = {r_1}{r_2}[cos {theta _1}cos {theta _2} – sin {theta _1}sin {theta _2} + i(sin {theta _1}cos {theta _2} + cos {theta _1}sin {theta _2})])

( = {r_1}{r_2}[cos ({theta _1} + {theta _2}) + isin ({theta _1} + {theta _2})])

其幾何意義是：({z_1}{z_2})表示把復數({z_1})對應的向量(overrightarrow {O{Z_1}} )，繞(O)旋轉({theta _2})（({theta _2}>0)：逆時針，({theta _2}<0)：順時針），然后再伸長或縮短為原來({r_2})倍得到的向量所對應的復數．可以用來處理旋轉、伸縮變換有關問題。如((1 + 2i) cdot i = (1 + 2i) cdot (cos 90^circ + isin 90^circ ))表示把向量(overrightarrow a = (1,2))沿逆時針旋轉(90^circ )，長度不變．

同理可得到：(dfrac{{{r_1}(cos {theta _1} + isin {theta _1})}}{{{r_2}(cos {theta _2} + isin {theta _2})}} = dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}[cos ({theta _1} – {theta _2}) + isin ({theta _1} – {theta _2})])

二、在解析幾何中的應用

【例題】在平面直角坐標系(xOy)中，點(P)、(Q)分別為直線(l:2x + y – 3 = 0)與圓(M:{(x – 2)^2} + {y^2} = {r^2})（(r>0)）上的動點，若存在點(P)、(Q)，使得(Delta OPQ)是以(O)為直角頂點的等腰直角三角形，則(r)的取值范圍為_____________.

復數三角形式乘法的幾何意義及其應用復數三角形式乘法的幾何意義及其應用

【解析】設(Q(x,y))，其對應復數為(x + yi)，

((x + yi) cdot (cos{90^circ}+isin{90^circ}))(=(x + yi) cdot i = – y + xi)，故(P( – y,x))

代入(2x + y – 3 = 0)得(Q)的軌跡方程為(x – 2y – 3 = 0)

由于(Q)點在圓(M:{(x – 2)^2} + {y^2} = {r^2})上

故(d = dfrac{{|2 – 0 – 3|}}{{sqrt 5 }} leqslant r)，解得(r geqslant dfrac{{sqrt 5 }}{5})

復數乘法的幾何意義第 2 篇

　　復數的幾何意義是什么

　　1、復數的幾何意義是：復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應的關系。

　　2、我們把形如z=a+bi（a，b均為實數）的數稱為復數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。

　　3、當z的虛部等于零時，常稱z為實數；當z的虛部不等于零時，實部等于零時，常稱z為純虛數。復數域是實數域的代數閉包，即任何復系數多項式在復數域中總有根。

　　4、復數是由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。

　　復數的運算公式

　　（1）加法運算

　　設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復數，它的實部是原來兩個復數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。

　　（2）乘法運算

　　設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復數，則：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i。

　　其實就是把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，結果中i2=-1，把實部與虛部分別合并。兩個復數的積仍然是一個復數。

　　（3）除法運算

　　復數除法定義：滿足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的復數x+yi（x，y∈R）叫復數a+bi除以復數c+di的商。

　　運算方法：可以把除法換算成乘法做，將分子分母同時乘上分母的共軛復數，再用乘法運算。

　　拓展閱讀：復數與向量的關系是什么

　　向量是復數的一種表示方式，而且只能是二維向量，即平面向量。復數僅僅限制在二維平面上。復數和復平面上以原點為起點的向量一一對應。

　　1、向量：在數學與物理中，既有大小又有方向的量叫做向量，亦稱矢量，在數學中與之相對應的是數量，在物理中與之相對應的是標量。

　　2、復數：被定義為二元有序實數對。復數域是實數域的代數閉包，也即任何復系數多項式在復數域中總有根。復數是由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。

復數乘法的幾何意義第 3 篇

教學目標

(1)掌握，如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。

(2)正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系;

(3)理解復數的幾何意義，初步掌握復數集c和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。

(4)培養學生數形結合的數學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力.

教學建議

(一)教材分析

1、知識結構

本節首先介紹了，然后指出復數相等的充要條件，接著介紹了有關復數的幾何表示，最后指出了有關共軛復數的概念.

2、重點、難點分析

(1)正確復數的實部與虛部

對于復數 ，實部是 ，虛部是 .注意在說復數 時，一定有 ，否則，不能說實部是 ，虛部是 ,復數的實部和虛部都是實數。

說明：對于復數的定義，特別要抓住 這一標準形式以及 是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。

(2)正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系

分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。根據上述原則，復數集的分類如下：

注意分清復數分類中的界限：

①設 ，則 為實數

② 為虛數

③ 且 。

④ 為純虛數 且

(3)不能亂用復數相等的條件解題.用復數相等的條件要注意：

①化為復數的標準形式

②實部、虛部中的字母為實數，即

(4)在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時，要注意：

①任何一個復數 都可以由一個有序實數對( )確定.這就是說，復數的實質是有序實數對.一些書上就是把實數對( )叫做復數的.

②復數 用復平面內的點z( )表示.復平面內的點z的坐標是( )，而不是( )，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 .由于 =0+1· ，所以用復平面內的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度.這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位 ，或者 就是縱軸的單位長度.

③當 時，對任何 ， 是純虛數，所以縱軸上的點( )( )都是表示純虛數.但當 時， 是實數.所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸.

由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點.

④復數z=a+bi中的z，書寫時小寫，復平面內點z(a，b)中的z，書寫時大寫.要學生注意.

(5)關于共軛復數的概念

設 ，則 ，即 與 的實部相等，虛部互為相反數(不能認為 與 或 是共軛復數).

教師可以提一下當 時的特殊情況，即實軸上的點關于實軸本身對稱，例如：5和-5也是互為共軛復數.當 時， 與 互為共軛虛數.可見，共軛虛數是共軛復數的特殊情行.

(6)復數能否比較大小

教材最后指出：“兩個復數，如果不全是實數，就不能比較它們的大小”，要注意：

①根據兩個復數相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個不成立，那么 .兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大小.

②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數集中大小關系地四條性質”：

(i)對于任意兩個實數a， b來說，a

(ii)如果a

(iii)如果a

(iv)如果a0，那么ac

(二)教法建議

1.要注意知識的連續性：復數 是二維數，其幾何意義是一個點 ，因而注意與平面解析幾何的聯系.

2.注意數形結合的數形思想：由于復數集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數”就成為可能，在本節要注意復數的幾何意義的講解，培養學生數形結合的數學思想.

3.注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數，如果不全是實數就不能本節它們的大小”沒有證明，如果有學生提出來了，在課堂上不要給全體學生證明，可以在課下給學有余力的學生進行解答.

復數乘法的幾何意義第 4 篇

【同步教育信息】

一. 本周教學內容：

1. 復數的概念

2. 復數的幾何意義

3. 復數的加減乘除法四則運算

二. 教學目標和要求

1. 讓學生了解數的演變過程，以及數集擴充的必要性，體會人類的理性思維對數學的發展所起的重要作用

2. 通過對復數的概念的學習，理解復數的幾何意義，能利用復數解決復數相等和共軛復數的問題

3. 掌握復數運算的加減法法則，了解它們的幾何意義

4. 掌握乘除法的運算過程，能解決一些具體的問題

三. 重點和難點

重點：復數的概念和復數運算的加減乘除法則

難點：1. 復數的概念以及它的幾何意義和加減運算法則的幾何意義

2. 復數乘除法的法則及其應用

四. 知識要點解析

1. 數的演變過程

數的產生和發展，都是為了計數的需要，以及為了解決一些實際問題中出現的矛盾，經過人的理性思維，從而擴充數系。（分數解決了在整數集中不能整除的矛盾 ，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾，復數解決了方程的次數和方程解的個數不一致的矛盾） 數系擴充的脈絡：

自然數系 有理數系 實數系 復數系

2. 復數的概念以及幾何意義

（1）復數的定義：形如a＋bi的數叫做復數，其中a，b都是實數，通常小寫字母z表示，記作z＝a＋bi（a，bR），a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部，i叫做虛數單位

（2）復數的分類

復數z＝a＋bi中，如果b＝0，則復數z叫做實數；如果b0，則復數z＝a＋bi叫做虛數：如果a＝0， b0，則bi 叫做純虛數

（3）復數的幾何意義

復數z＝a＋bi 有序實數對（a，b） 點Z（a，b）

3. 復數相等，復數的模

（1）復數相等：如果復數的實部和虛部對應相等，則稱2個復數相等，即：

a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d； a＋bi＝0a＝b＝0

思考：兩個復數能否比較大小

（2）復數的模：設向量OZ＝a＋bi，則向量OZ的長度叫做復數a＋bi的模（或絕對值） 記作＝

4. 共軛復數

（1）共軛復數：如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個虛數叫做互為共軛復數，記作z＝a＋bi，＝a－bi

（2）共軛復數的性質：

①模相等即

②任意實數的共軛復數都是它本身即z＝；

③表示兩個共軛復數的點關于實軸對稱

④

⑤

⑥

（3）共軛復數的運算性質

① ② ③ ④

5. 復數與點的軌跡

（1）兩點間距離公式d＝

（2）線段的中垂線 ＝

（3）圓的方程 ＝r，圓心Z0，半徑為r

（4）橢圓方程

6. 復數運算的加減法則以及幾何意義

（1）加法法則：（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i

（2）減法法則：（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i

（3）幾何意義：加法就是向量的加法的平行四邊形法則，減法遵循向量的減法法則

7. 復數的乘除法則

（1）復數的乘法法則

設z1＝a＋bi，z2＝c＋di 則z1z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i

強調：①兩個復數之積仍是復數，一般形式x＋yi （x，y）

②不要求記憶乘法法則，按照多項式乘法的運算方式展開就可以了

（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i

③復數乘法運算滿足交換律，結合律和乘法對加法的分配律

z1z2＝z2z1； （z1z2）z3＝z1（z2z3）； z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

④復數的乘方

zmzn＝zm＋n ；（zm）n＝zmn； （z1z2）n＝zn1zn2

（2） 復數的除法法則

強調：①復數除法的結果仍是復數，不要求記憶公式

②復數除法的本質是分母實數化

8. 兩個重要的復數（i，）

（1）i的性質

①i4n＝1，i4n＋1＝i， i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i

②i4n＋ i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0

（2）*的性質（）

①w3n＝1，w3n＋1＝w，w3n＋2＝ ②w3n＋w3n＋1＋w3n＋2＝0

【典型例題】

例1. 實數m取什么值時，復數z＝（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）i

（1）是實數 （2）是虛數 （3）是純虛數

思路分析：這是考察復數的分類，也就是復數z＝a＋bi中，其中a，b都是實數，由復數z＝a＋bi是實數，虛數和純虛數的條件可以確定m的值

解：

（1） m2－5m－6＝0 ，解得m＝－1或m＝6

（2） m2－5m－60， 解得m－1且m6

（3）

例2. 若2，求的最值

思路分析：2表示復數z的對應點Z是以3＋4i為圓心，2為半徑的圓面，如圖，最值點在復數3＋4i表示的點與坐標原點連線上。

解：圓心（3，4）到坐標原點的距離為5，半徑為2，所以最大值為5＋2＝7，最小值為5－2＝3。

強調：注意數形結合對解此類型題目的實際意義，數形結合有利于解題。

例3. 已知復數Z1，Z2滿足＝＝， ＝，求的值。

思路分析：復數的加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，如圖，已知平行四邊形相鄰兩邊長分別為，其中一條對角線長為，轉化為求另一條對角線長度的問題。可以通過解三角形，利用余弦定理解決。如圖

答案見名師面授！

例4. 設z是虛數，w＝，且－1＜w＜2。

a) 求

b) 設

c) 求

思路分析：本題考查復數的概念，復數的運算以及與函數，不等式的綜合應用能力，能力層次；綜合應用。

思路一： 由于將用x，y的表達式表示，利用題設條件＜w＜2論證各問題

思路二： 利用z，z為純虛數兩題

解法一：

（1）設z＝x＋yi（x，y，且y）則

∵－1＜w＜2，∴w，∴y－

又y，∴ ∴

由－1＜w＜2得－1＜2x＜2，∴－0.5＜x＜1

（2）

∵y，∴是純虛數

（3）

當且盡當x＋1＝ ，即x＝0時等號成立

∴當x＝0，即z＝時，有最小值1

解法二：

（1）∵－1＜w＜2，∴w＝，即

化為（z－

∵z為虛數，∴

設z＝x＋yi，則

∴∵－1＜w＜2，∴－0.5＜x＜1

（2） ∵z為虛數，∴z－1，即

又

（3）同解法一

思想方法小結：本題解法一利用復數的基本概念和基本運算解題，方法略繁，但思路清晰。解法二運用共軛復數的性質解題，方法簡潔，計算量小，體現了轉化思想。

【模擬試題】

一、選擇題

1. 若Z1＝（x－2）＋yi與Z2＝3x＋i（x，yR）互為共軛復數，則Z1對應的點在第（ ）象限

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

2. 下列說法正確的個數是（ ）

①實數是復數 ②虛數是復數 ③ 實數集與虛數集的交集不是空集 ④實數集與虛數集的并集等于復數集 ⑤虛軸上的點表示的都是純虛數 ⑥實軸上的點表示的數都是實數

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3. 復數z＋＝0，則z是（ ）

A. 0 B. 實數 C. 純虛數 D. 0或純虛數

4. 已知

A. 1 B. 2 C. D. 3

5. （ ）

A. 0 B. 1 C. –1 D. i

6. 已知（ ）

A. 1＋i B. 1－I C. 2i D. –2i

7. 設z為復數，則

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要條件 D. 不充分不必要條件

二、填空題

8. 復數（m2－4）＋（m2＋m－6）i是純虛數，則m＝

9. 已知復數Z1，Z2滿足則

10. （2003年北京）若Z

11. 計算

12. 已知復數z是方程的根，則

（1）求＝ （2）求＝

13. 已知復數z＝3＋4i，則z的平方根為

三、解答題

14. 求復數 Z1＝3＋4i，Z2＝的模及其共軛復數

15. 已知平行四邊形ABCD，若A，B，C三點對應復數分別為2＋i ， 4＋3i ， 3＋5i，求點D對應的復數

16. 設復數z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i ，試求實數m取何值時，

（1）復數z是純虛數，（2）復數z是實數，（3）z對應的點位于復平面的第二象限

17. 已知復數z滿足

18. 求一個復數z，使得為實數，且

19. 已知z＝1＋i，a，b為實數，

（1）若，求

（2）若，求a，b的值

【試題答案】

一、選擇題

1. C 2. B 3. D 4. D 5. A 6. D 7. A

二、填空題

8. –2 9. 10. 11. i

12. （1） （2） 0

13. 2＋i或－2－i

三、解答題

14. i

15. 1＋3i

16. （1） m＝3 （2）m＝－1或m＝－2 （3）

17. 最大值 ，最小值

18. z＝4或z＝

19. （1） ＝ （2） a＝－1，b＝2

【勵志故事】

現在我是墻

華裔網球名將張德培在事業巔峰的時間曾說：小時候，我用球打擊墻，它立即反擊我，讓我知道它是無法穿越的；現在，我是墻。我是張德培，這是我的世界。

墻無法穿越，你打擊，疼痛的是手，流血的是心；手里拿物體打擊墻，力道越足，墻反彈的力度越強，受的傷就越重，但墻仍然無法穿越，頂多是留下一個凹陷的痕跡。把墻撞塌了，被壓垮的還是你自己。我們都有碰壁的時候，遷怒于墻，結果被憤怒燒傷自己的脈管；狠狠拍擊墻，折斷的可能是你的胳膊。并不是所有的墻都可以攀越或隨意移動的。頭撞南墻的是傻瓜，向隅而泣的是懦夫。把自己化為一堵墻，就沒有什么可以穿越你了。

苦難是堵墻，隔閡是堵墻，冷遇是堵墻。對付墻的辦法，就是比墻更硬。不想被什么穿越，你就選擇做一堵巋然不動的墻。

現在我是墻，是藤蔓可以攀援的墻，是牽牛可以開花的墻。

話外音：做人要堅強。當你強大到一定程度的時候，你就是別人的標準和榜樣。